Wielomiany Bernsteina

Wielomiany Bernsteina – wielomiany wprowadzone w 1912 roku przez Siergieja Bernsteina w dowodzie twierdzenia Weierstrassa o przybliżeniu funkcji ciągłych.

Dla funkcji $f\colon [0,1]\to \mathbb {R}$$f\colon [0,1]\to \mathbb {R}$, wielomian Bernsteina stopnia n jest dany wzorem:

$E_{n}(f)(t)=\sum _{i=0}^{n}f\left({\frac {i}{n}}\right)B_{i}^{n}(t)$$E_{n}(f)(t)=\sum _{i=0}^{n}f\left({\frac {i}{n}}\right)B_{i}^{n}(t)$

gdzie $B_{i}^{n}(t)$$B_{i}^{n}(t)$ to wielomiany bazowe Bernsteina dane wzorem:

$B_{i}^{n}(t)={\begin{cases}{n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i}&{\mbox{ dla }}i=0\ldots n\\0&{\mbox{ dla }}i<0,\ i>n\end{cases}}$$B_{i}^{n}(t)={\begin{cases}{n \choose i}t^{i}(1-t)^{n-i}&{\mbox{ dla }}i=0\ldots n\\0&{\mbox{ dla }}i<0,\ i>n\end{cases}}$

Wielomiany bazowe Bernsteina służą do przedstawiania szeroko stosowanych w grafice komputerowej: krzywych Béziera, płatów Béziera i wywodzących się z nich innych rodzajów krzywych i powierzchni. (W publikacjach tyczących grafiki komputerowej często pomija się przymiotnik bazowe i używa po prostu określenia wielomiany Bernsteina).

Własności wielomianów bazowych Bernsteina

Zależność rekurencyjna

Wielomian spełnia zależność rekurencyjną:

$B_{i}^{n}(t)=(1-t)B_{i}^{n-1}(t)+tB_{i-1}^{n-1}(t)$$B_{i}^{n}(t)=(1-t)B_{i}^{n-1}(t)+tB_{i-1}^{n-1}(t)$

Rozkład jedynki

$\sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(t)=1$$\sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(t)=1$

Dodatniość

$B_{i}^{n}(t)\geqslant 0$$B_{i}^{n}(t)\geqslant 0$ dla $t\in [0,1]$$t\in [0,1]$

Symetria

$B_{i}^{n}(t)=B_{n-i}^{n}(1-t)$$B_{i}^{n}(t)=B_{n-i}^{n}(1-t)$

Iloczyn

$B_{i}^{n}(t)B_{j}^{m}(t)$$B_{i}^{n}(t)B_{j}^{m}(t)$ $={\frac {{n \choose i}{m \choose j}}{{n+m} \choose {i+j}}}B_{i+j}^{n+m}(t)$$={\frac {{n \choose i}{m \choose j}}{{n+m} \choose {i+j}}}B_{i+j}^{n+m}(t)$

Pochodna

${\frac {d}{dt}}B_{i}^{n}(t)=n\left(B_{i-1}^{n-1}(t)-B_{i}^{n-1}(t)\right)$${\frac {d}{dt}}B_{i}^{n}(t)=n\left(B_{i-1}^{n-1}(t)-B_{i}^{n-1}(t)\right)$

Reprezentacja za pomocą wielomianów wyższego stopnia

$B_{i}^{n}(t)={\frac {n+1-i}{n+1}}B_{i}^{n+1}(t)+{\frac {i+1}{n+1}}B_{i+1}^{n+1}(t)$$B_{i}^{n}(t)={\frac {n+1-i}{n+1}}B_{i}^{n+1}(t)+{\frac {i+1}{n+1}}B_{i+1}^{n+1}(t)$

Aproksymacja jednostajna

Niech $f:[0,1]\to \mathbb {R}$$f:[0,1]\to \mathbb {R}$ będzie funkcją ciągłą. Wówczas ciąg wielomianów Bernsteina $\langle E_{n}(f):n=0,1,2,\ldots \rangle$$\langle E_{n}(f):n=0,1,2,\ldots \rangle$ jest jednostajnie zbieżny do funkcji $f$$f$.

Wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych

Wielomiany te dane są wzorem:

$B_{ijk}^{n}(r,s,t)={\begin{cases}{\frac {n!}{i!j!k!}}r^{i}s^{j}t^{k}&{\mbox{ dla }}i,j,k\geqslant 0{\mbox{ oraz }}i+j+k=n\\0&{\mbox{ w przeciwnym razie }}\end{cases}}$$B_{ijk}^{n}(r,s,t)={\begin{cases}{\frac {n!}{i!j!k!}}r^{i}s^{j}t^{k}&{\mbox{ dla }}i,j,k\geqslant 0{\mbox{ oraz }}i+j+k=n\\0&{\mbox{ w przeciwnym razie }}\end{cases}}$

i używane do określenia trójkątnych płatów Béziera.

Własność:

$B_{ijk}^{n}(ar,as,at)=a^{n}B_{ijk}^{n}(r,s,t)$$B_{ijk}^{n}(ar,as,at)=a^{n}B_{ijk}^{n}(r,s,t)$

Zobacz też

• wielomiany Tonellego,
• Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa,