Wielomiany Bernsteina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wielomiany Bernsteinawielomiany wprowadzone w 1912 roku przez Siergieja Bernsteina w dowodzie twierdzenia Weierstrassa o przybliżeniu funkcji ciągłych.

Dla funkcji , wielomian Bernsteina stopnia n jest dany wzorem:

gdzie to wielomiany bazowe Bernsteina dane wzorem:

Wielomiany bazowe Bernsteina służą do przedstawiania szeroko stosowanych w grafice komputerowej: krzywych Béziera, płatów Béziera i wywodzących się z nich innych rodzajów krzywych i powierzchni. (W publikacjach tyczących grafiki komputerowej często pomija się przymiotnik bazowe i używa po prostu określenia wielomiany Bernsteina).

Własności wielomianów bazowych Bernsteina[edytuj]

Zależność rekurencyjna[edytuj]

Wielomian spełnia zależność rekurencyjną:

Rozkład jedynki[edytuj]

Dodatniość[edytuj]

dla

Symetria[edytuj]

Iloczyn[edytuj]

Pochodna[edytuj]

Reprezentacja za pomocą wielomianów wyższego stopnia[edytuj]

Aproksymacja jednostajna[edytuj]

Niech będzie funkcją ciągłą. Wówczas ciąg wielomianów Bernsteina jest jednostajnie zbieżny do funkcji .

Wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych[edytuj]

Wielomiany te dane są wzorem:

i używane do określenia trójkątnych płatów Béziera.

Własność:

Zobacz też[edytuj]