Wielomiany Bernsteina

Wielomiany Bernsteina – wielomiany wprowadzone w 1912 roku przez Siergieja Bernsteina w dowodzie twierdzenia Weierstrassa o przybliżeniu funkcji ciągłych.
Dla funkcji wielomian Bernsteina stopnia n jest dany wzorem:
gdzie to wielomiany bazowe Bernsteina dane wzorem:
Wielomiany bazowe Bernsteina służą do przedstawiania szeroko stosowanych w grafice komputerowej: krzywych Béziera, płatów Béziera i wywodzących się z nich innych rodzajów krzywych i powierzchni (w publikacjach tyczących grafiki komputerowej często pomija się przymiotnik bazowe i używa po prostu określenia wielomiany Bernsteina).
Własności wielomianów bazowych Bernsteina
[edytuj | edytuj kod]Zależność rekurencyjna
[edytuj | edytuj kod]Wielomian spełnia zależność rekurencyjną:
Rozkład jedynki
[edytuj | edytuj kod]Dodatniość
[edytuj | edytuj kod]- dla
Symetria
[edytuj | edytuj kod]Iloczyn
[edytuj | edytuj kod]Pochodna
[edytuj | edytuj kod]Reprezentacja za pomocą wielomianów wyższego stopnia
[edytuj | edytuj kod]Aproksymacja jednostajna
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie funkcją ciągłą. Wówczas ciąg wielomianów Bernsteina jest jednostajnie zbieżny do funkcji
Wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych
[edytuj | edytuj kod]Wielomiany te dane są wzorem:
i używane do określenia trójkątnych płatów Béziera.
Własność
[edytuj | edytuj kod]Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]Bernstein polynomials (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].