Przejdź do zawartości

Wielomiany Bernsteina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Reprezentacja podstawy wielomianów stopnia Bernsteina 2

Wielomiany Bernsteinawielomiany wprowadzone w 1912 roku przez Siergieja Bernsteina w dowodzie twierdzenia Weierstrassa o przybliżeniu funkcji ciągłych.

Dla funkcji wielomian Bernsteina stopnia n jest dany wzorem:

gdzie to wielomiany bazowe Bernsteina dane wzorem:

Wielomiany bazowe Bernsteina służą do przedstawiania szeroko stosowanych w grafice komputerowej: krzywych Béziera, płatów Béziera i wywodzących się z nich innych rodzajów krzywych i powierzchni (w publikacjach tyczących grafiki komputerowej często pomija się przymiotnik bazowe i używa po prostu określenia wielomiany Bernsteina).

Własności wielomianów bazowych Bernsteina

[edytuj | edytuj kod]

Zależność rekurencyjna

[edytuj | edytuj kod]

Wielomian spełnia zależność rekurencyjną:

Rozkład jedynki

[edytuj | edytuj kod]

Dodatniość

[edytuj | edytuj kod]
dla

Symetria

[edytuj | edytuj kod]

Iloczyn

[edytuj | edytuj kod]

Pochodna

[edytuj | edytuj kod]

Reprezentacja za pomocą wielomianów wyższego stopnia

[edytuj | edytuj kod]

Aproksymacja jednostajna

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie funkcją ciągłą. Wówczas ciąg wielomianów Bernsteina jest jednostajnie zbieżny do funkcji

Wielomiany bazowe Bernsteina trzech zmiennych

[edytuj | edytuj kod]

Wielomiany te dane są wzorem:

i używane do określenia trójkątnych płatów Béziera.

Własność

[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]