Wielomiany Czebyszewa – układ wielomianów ortogonalnych tworzący bazę przestrzeni wielomianów; nazwa pochodzi od nazwiska Pafnutija Czebyszowa.
Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju[edytuj | edytuj kod]



Rozwiązaniem powyższej rekurencji jest:

Parzystość wielomianów Czebyszewa[edytuj | edytuj kod]
Z definicji wynika, że dla k parzystego wielomian Czebyszewa k-tego stopnia jest parzysty, dla nieparzystego k – nieparzysty:

Dla
podstawiając za
dla

gdzie
Po zastosowaniu wzoru de Moivre’a na k-tą potęgę liczby zespolonej otrzymuje się:

Wracając do zmiennej
(*)
Jest to tzw. postać trygonometryczna wielomianu Czebyszewa, gdyż wyraża Wielomian Czebyszewa k-tego stopnia przez funkcję trygonometryczną
i jej odwrotność
Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych można wykazać, że (*) jest w zależności od argumentu x równe:
![{\displaystyle T_{k}(x)={\begin{cases}\cos(k\arccos x),&x\in [-1,1]\\[2px]\cosh(k\,\mathrm {arcosh} (x)),&x\geqslant 1\\[2px](-1)^{k}\cosh(k\,\mathrm {arcosh} (-x)),&x\leqslant -1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de439222c872e9f2e8dfe95f86cd1aed420dd0b)
Można wykazać, że

ponieważ zachodzi

oraz

zachodzi

a stąd

podstawiają za
x, otrzymuje się

Osobny artykuł: Węzły Czebyszewa.
Wielomian Czebyszewa
posiada k zer rzeczywistych należących do [-1;1] danych wzorem:

Wielomiany Czebyszewa tworzą układ ortogonalny w przestrzeni
z funkcją wagową


Zastosujmy podstawienie
Mamy wówczas
oraz
Stosując we wcześniejszym wzorze:

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego
dostajemy
![{\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {1}{2}}[cos((k-j)t)+\cos((k+j)t)]dt={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k-j)t)dt+{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k+j)t)dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e26bd7b09c164e4896e1840c6f2be923d1ad4d6)
Załóżmy w tym momencie, że
i rozpatrzmy obie całki osobno.
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\pi }\cos((k-j)t)dt={\frac {1}{k-j}}\int \limits _{0}^{(k-j)\pi }\cos(t)dt={\frac {1}{k-j}}[\sin(t)]_{0}^{(k-j)\pi }=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419d81679a90da3d67ff84cd4d24027d225544de)
Analogicznie:
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\pi }\cos((k+j)t)dt={\frac {1}{k+j}}\int \limits _{0}^{(k+j)\pi }\cos(t)dt={\frac {1}{k+j}}[\sin(t)]_{0}^{(k+j)\pi }=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbdaa80b9ea34340a40ca8ac91f7871dd79cdc46)
Zatem:

Widać, że założenie, iż
jest istotne, ponieważ w przeciwnym wypadku otrzymalibyśmy 0 w mianowniku.
Powyższe równania dowodzą, że wielomiany Czebyszewa są wzajemnie prostopadłe.
Teraz rozważmy przypadek, kiedy
![{\displaystyle {\begin{aligned}\langle T_{k},T_{k}\rangle &={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }[cos((k-k)t)+\cos((k+k)t)]dt\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }[1+\cos(2kt)]dt\\&={\frac {\pi }{2}}+\int \limits _{0}^{\pi }\cos(2kt)dt\\&={\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{2k}}\int \limits _{0}^{2k\pi }\cos(t)dt\\&={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a902a9ce394c17ab57cfca6712174d2ce06ecfe0)
W przypadku
dostajemy
co kończy dowód.
Przykłady wielomianów Czebyszewa[edytuj | edytuj kod]
Wielomiany Czebyszewa od T0 do T8
Dziesięć pierwszych wielomianów Czebyszewa:










Twierdzenie o minimaksie mówi, że unormowany (mający współczynnik 1 przy najwyższej potędze) wielomian Czebyszewa
ma na odcinku
najmniejszą normę jednostajną (maksymalna wartość absolutną), spośród wszystkich wielomianów stopnia k, o współczynniku wiodącym równym jeden. Czyli dla dowolnego wielomianu postaci:

zachodzi nierówność:
![{\displaystyle \max _{x\in [-1;1]}|w_{k}(x)|\geqslant \max _{x\in [-1;1]}|{\frac {1}{2^{k-1}}}T_{k}(x)|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d61cfb09af7ca29354d3920de26305fc8c657a)
Wiedząc, że dla każdego
wielomian
przyjmuje wszystkie wartości z
możemy napisać:
![{\displaystyle \max _{x\in [-1;1]}|w_{k}(x)|\geqslant {\frac {1}{2^{k-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ded141907251816c191aa55f9d48726733f90f)
Przy interpolacji wielomianowej często zamiast równoodległych węzłów, używa się węzłów Czebyszewa, leżących w zerach wielomianów Czebyszewa. Pozwala to uniknąć tak zwanego efektu Rungego, czyli dużych oscylacji wielomianu interpolacyjnego przy krańcach przedziału. Fakt, że miejsca zerowe wielomianów Czebyszewa zagęszczają się ku krańcom przedziału, pozwala lepiej związać wielomian zapobiegając naturalnym dla wielomianów wysokiego rzędu oscylacjom.
Wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju[edytuj | edytuj kod]



Funkcja wagowa iloczynu skalarnego: