Wielomiany Czebyszewa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wielomiany Czebyszewaukład wielomianów ortogonalnych tworzący bazę przestrzeni wielomianów; nazwa pochodzi od nazwiska Pafnutija Czebyszowa.

Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju[edytuj]

Definicja rekurencyjna[edytuj]

Postać jawna[edytuj]

Rozwiązaniem powyższej rekurencji jest :

Parzystość wielomianów Czebyszewa[edytuj]

Z definicji wynika, że dla k parzystego wielomian Czebyszewa k-tego stopnia jest parzysty, dla nieparzystego k - nieparzysty:

Postać trygonometryczna[edytuj]

Dla podstawiając za , dla

gdzie

Po zastosowaniu wzoru de Moivre'a na k-tą potęgę liczby zespolonej otrzymuje się:
Wracając do zmiennej :
(*)

Jest to tzw. postać trygonometryczna wielomianu Czebyszewa, gdyż wyraża Wielomian Czebyszewa k-tego stopnia poprzez funkcję trygonometryczną cos i jej odwrotność arccos. Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych można wykazać, że (*) jest w zależności od argumentu x równe:

Można wykazać, że

ponieważ zachodzi

oraz

zachodzi

a stąd

podstawiają za x, otrzymuje się

Zera wielomianów Czebyszewa[edytuj]

Wielomian Czebyszewa posiada k zer rzeczywistych należących do [-1;1] danych wzorem:

Ortogonalność[edytuj]

Wielomiany Czebyszewa tworzą układ ortogonalny w przestrzeni z funkcją wagową :

Dowód[edytuj]

Zastosujmy podstawienie . Mamy wówczas oraz . Stosując we wcześniejszym wzorze:

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego dostajemy

Załóżmy w tym momencie, że i rozpatrzmy obie całki osobno.

Analogicznie:

Zatem:

Widać, że założenie, iż jest istotne, ponieważ w przeciwnym wypadku otrzymalibyśmy 0 w mianowniku.

Powyższe rówanania dowodzą, że wielomiany Czebyszewa są wzajemnie prostopadłe.

Teraz rozważmy przypadek, kiedy

W przypadku dostajemy co kończy dowód.

Przykłady wielomianów Czebyszewa[edytuj]

T0 T1, T2 T3 T4 T5

Dziesięć pierwszych wielomianów Czebyszewa:

Własności[edytuj]

Twierdzenie o minimaksie mówi, że unormowany (mający współczynnik 1 przy najwyższej potędze) wielomian Czebyszewa ma na odcinku [-1;1] najmniejszą normę jednostajną (maksymalna wartość absolutną) spośród wszystkich wielomianów stopnia k. Czyli dla dowolnego wielomianu postaci:

zachodzi nierówność:

Wiedząc, że dla każdego wielomian przyjmuje wszystkie wartości z , możemy napisać:

Zastosowania[edytuj]

Przy interpolacji wielomianowej często zamiast równoodległych węzłów, używa się węzłów leżących w zerach wielomianów Czebyszewa. Pozwala to uniknąć tak zwanego efektu Rungego, czyli dużych oscylacji wielomianu interpolacyjnego przy krańcach przedziału. Fakt, że miejsca zerowe wielomianów Czebyszewa zagęszczają się ku krańcom przedziału, pozwala lepiej związać wielomian zapobiegając naturalnym dla wielomianów wysokiego rzędu oscylacjom.

Wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju[edytuj]

Definicja rekurencyjna[edytuj]

Funkcja wagowa iloczynu skalarnego:

Zobacz też[edytuj]