Wielomiany Czebyszewa

Wielomiany Czebyszewa – układ wielomianów ortogonalnych tworzący bazę wielomianów, nazwa pochodzi od nazwiska Pafnutija Czebyszowa.

Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju

Definicja rekurencyjna

$T_{0}(x)=1\,$$T_{0}(x)=1\,$

$T_{1}(x)=x\,$$T_{1}(x)=x\,$

$T_{k}(x)=2x\cdot T_{k-1}(x)-T_{k-2}(x)$$T_{k}(x)=2x\cdot T_{{k-1}}(x)-T_{{k-2}}(x)$

Postać jawna

Rozwiązaniem powyższej rekurencji (otrzymanym np. przez metodę równania charakterystycznego rekursji) jest :

$T_{k}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}}{2}}$$T_{k}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}}{2}}$

Parzystość wielomianów Czebyszewa

Z definicji wynika, że dla k parzystego wielomian Czebyszewa k-tego stopnia jest parzysty, dla nieparzystego k - nieparzysty:

$T_{k}(-x)=(-1)^{k}T_{k}(x)\,$$T_{k}(-x)=(-1)^{k}T_{k}(x)\,$

Postać trygonometryczna

Dla $x\in [-1;1]$$x\in [-1;1]$ podstawiając za $x=\cos \,t$$x=\cos \,t$, dla $k=0,1,2,\cdots$$k=0,1,2,\cdots$

$T_{k}(\cos \,t)={\frac {(\cos \,t+{\sqrt {\cos ^{2}\,t-1}})^{k}+(\cos \,t-{\sqrt {\cos ^{2}-1}})^{k}}{2}}=$$T_{k}(\cos \,t)={\frac {(\cos \,t+{\sqrt {\cos ^{2}\,t-1}})^{k}+(\cos \,t-{\sqrt {\cos ^{2}-1}})^{k}}{2}}=$

$T_{k}(\cos \,t)={\frac {(\cos \,t+{\sqrt {-\sin ^{2}\,t}})^{k}+(\cos \,t-{\sqrt {-\sin ^{2}\,t}})^{k}}{2}}=$$T_{k}(\cos \,t)={\frac {(\cos \,t+{\sqrt {-\sin ^{2}\,t}})^{k}+(\cos \,t-{\sqrt {-\sin ^{2}\,t}})^{k}}{2}}=$

$T_{k}(\cos \,t)={\frac {(\cos \,t+i\cdot \sin \,t)^{k}+(\cos \,t-i\cdot \sin \,t)^{k}}{2}}$$T_{k}(\cos \,t)={\frac {(\cos \,t+i\cdot \sin \,t)^{k}+(\cos \,t-i\cdot \sin \,t)^{k}}{2}}$

gdzie $i^{2}=-1$$i^{2}=-1$

Po zastosowaniu wzoru de Moivre'a na k-tą potęgę liczby zespolonej otrzymuje się:

$\!T_{k}(\cos \,t)=\cos kt$$\!T_{k}(\cos \,t)=\cos kt$

Wracając do zmiennej $x$$x$: $\!t=\arccos x$$\!t=\arccos x$

$\!T_{k}(x)=\cos(k\cdot \arccos(x))$$\!T_{k}(x)=\cos(k\cdot \arccos(x))$ (*)

Jest to tzw. postać trygonometryczna wielomianu Czebyszewa, gdyż wyraża Wielomian Czebyszewa k-tego stopnia poprzez funkcję trygonometryczną cos i jej odwrotność arccos. Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych można wykazać, że (*) jest w zależności od argumentu x równe:

$T_{k}(x)={\begin{cases}\cos(k\arccos x),&\,x\in [-1,1]\\\cosh(k\,\mathrm {arcosh} (x)),&\,x\geqslant 1\\(-1)^{k}\cosh(k\,\mathrm {arcosh} (-x)),&\,x\leqslant -1\\\end{cases}}$$T_{k}(x)={\begin{cases}\cos(k\arccos x),&\,x\in [-1,1]\\\cosh(k\,{\mathrm {arcosh}}(x)),&\,x\geqslant 1\\(-1)^{k}\cosh(k\,{\mathrm {arcosh}}(-x)),&\,x\leqslant -1\\\end{cases}}$

Można wykazać, że

$\cos(k\cdot t)={\frac {e^{ik\cdot t}+e^{-ik\cdot t}}{2}}={\frac {(e^{i\cdot t})^{k}+(e^{i\cdot t})^{-k}}{2}}$$\cos(k\cdot t)={\frac {e^{{ik\cdot t}}+e^{{-ik\cdot t}}}{2}}={\frac {(e^{{i\cdot t}})^{k}+(e^{{i\cdot t}})^{{-k}}}{2}}$

ponieważ zachodzi

$\!e^{i\cdot t}=\cos(\cdot t)+i\sin(t)$$\!e^{{i\cdot t}}=\cos(\cdot t)+i\sin(t)$

oraz

$\sin(t)={\sqrt {1-\cos(t)^{2}}}$$\sin(t)={\sqrt {1-\cos(t)^{2}}}$

zachodzi

$e^{i\cdot t}=\cos(\cdot t)+{\sqrt {\cos(\cdot t)^{2}-1}}$$e^{{i\cdot t}}=\cos(\cdot t)+{\sqrt {\cos(\cdot t)^{2}-1}}$

a stąd

$\cos(k\cdot t)={\frac {(\cos(t)+{\sqrt {\cos(t)^{2}-1}})^{k}+(\cos(t)+{\sqrt {\cos(t)^{2}-1}})^{-k}}{2}}$$\cos(k\cdot t)={\frac {(\cos(t)+{\sqrt {\cos(t)^{2}-1}})^{k}+(\cos(t)+{\sqrt {\cos(t)^{2}-1}})^{{-k}}}{2}}$

podstawiają za $\cos(t)$$\cos(t)$ x, otrzymuje się

$T_{k}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}+(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{-k}}{2}}$$T_{k}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}+(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{{-k}}}{2}}$

Zera wielomianów Czebyszewa

Wielomian Czebyszewa $T_{k}(x)$$T_{k}(x)$ posiada k zer rzeczywistych należących do [-1;1] danych wzorem:

$x_{j}=\cos \left({\frac {2\cdot j-1}{2\cdot k}}\cdot \pi \right)$$x_{j}=\cos \left({\frac {2\cdot j-1}{2\cdot k}}\cdot \pi \right)$

$j=1,2,\cdots ,k$$j=1,2,\cdots ,k$

Ortogonalność

Wielomiany Czebyszewa tworzą układ ortogonalny w przestrzeni $L_{p}^{2}[-1,1]$$L_{p}^{2}[-1,1]$ z funkcją wagową $w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$$w(x)={\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}$:

$\int \limits _{-1}^{1}T_{k}(x)T_{j}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\left\{{\begin{matrix}0&:k\neq j~~~~~\\\pi &:k=j=0\\\pi /2&:k=j\neq 0\end{matrix}}\right.$$\int \limits _{{-1}}^{1}T_{k}(x)T_{j}(x)\,{\frac {dx}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}=\left\{{\begin{matrix}0&:k\neq j~~~~~\\\pi &:k=j=0\\\pi /2&:k=j\neq 0\end{matrix}}\right.$

Dowód

$\langle T_{k},T_{j}\rangle =\int \limits _{-1}^{1}{\frac {T_{k}(x)\cdot T_{j}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx=\int \limits _{-1}^{1}{\frac {\cos(k\cdot \arccos(x))\cdot \cos(j\cdot \arccos(x))}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx$$\langle T_{k},T_{j}\rangle =\int \limits _{{-1}}^{{1}}{\frac {T_{k}(x)\cdot T_{j}(x)}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}dx=\int \limits _{{-1}}^{{1}}{\frac {\cos(k\cdot \arccos(x))\cdot \cos(j\cdot \arccos(x))}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}dx$

Zastosujmy podstawienie $t=\arccos(x)\,$$t=\arccos(x)\,$. Mamy wówczas ${\frac {dt}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$${\frac {dt}{dx}}=-{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ oraz $x=\cos(t)\,$$x=\cos(t)\,$. Stosując we wcześniejszym wzorze:

$\langle T_{k},T_{j}\rangle =-\int \limits _{\pi }^{0}{\frac {\cos(k\cdot t)\cdot \cos(j\cdot t)}{\sqrt {1-cos^{2}(t)}}}{\sqrt {1-cos^{2}(t)}}dt=\int \limits _{0}^{\pi }\cos(k\cdot t)\cdot \cos(j\cdot t)dt$$\langle T_{k},T_{j}\rangle =-\int \limits _{{\pi }}^{{0}}{\frac {\cos(k\cdot t)\cdot \cos(j\cdot t)}{{\sqrt {1-cos^{2}(t)}}}}{\sqrt {1-cos^{2}(t)}}dt=\int \limits _{{0}}^{{\pi }}\cos(k\cdot t)\cdot \cos(j\cdot t)dt$

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego $\cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )={\frac {1}{2}}[cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )]$$\cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )={\frac {1}{2}}[cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )]$ dostajemy

$\langle T_{k},T_{j}\rangle =\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {1}{2}}[cos((k-j)t)+\cos((k+j)t)]dt={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k-j)t)dt+{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k+j)t)dt$$\langle T_{k},T_{j}\rangle =\int \limits _{{0}}^{{\pi }}{\frac {1}{2}}[cos((k-j)t)+\cos((k+j)t)]dt={\frac {1}{2}}\int \limits _{{0}}^{{\pi }}\cos((k-j)t)dt+{\frac {1}{2}}\int \limits _{{0}}^{{\pi }}\cos((k+j)t)dt$

Załóżmy w tym momencie, że $k\neq j$$k\neq j$ i rozpatrzmy obie całki osobno.

$\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k-j)t)dt={\frac {1}{k-j}}\int \limits _{0}^{(k-j)\pi }\cos(t)dt={\frac {1}{k-j}}[\sin(t)]_{0}^{(k-j)\pi }=0$$\int \limits _{{0}}^{{\pi }}\cos((k-j)t)dt={\frac {1}{k-j}}\int \limits _{{0}}^{{(k-j)\pi }}\cos(t)dt={\frac {1}{k-j}}[\sin(t)]_{{0}}^{{(k-j)\pi }}=0$

Analogicznie:

$\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k+j)t)dt={\frac {1}{k+j}}\int \limits _{0}^{(k+j)\pi }\cos(t)dt={\frac {1}{k+j}}[\sin(t)]_{0}^{(k+j)\pi }=0$$\int \limits _{{0}}^{{\pi }}\cos((k+j)t)dt={\frac {1}{k+j}}\int \limits _{{0}}^{{(k+j)\pi }}\cos(t)dt={\frac {1}{k+j}}[\sin(t)]_{{0}}^{{(k+j)\pi }}=0$

Zatem:

$\langle T_{k},T_{j}\rangle =0$$\langle T_{k},T_{j}\rangle =0$

Widać, że założenie, iż $k\neq j$$k\neq j$ jest istotne, ponieważ w przeciwnym wypadku otrzymalibyśmy 0 w mianowniku.

Powyższe rówanania dowodzą, że wielomiany Czebyszewa są wzajemnie prostopadłe.

Teraz rozważmy przypadek, kiedy $j=k\neq 0$$j=k\neq 0$

$\langle T_{k},T_{k}\rangle ={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }[cos((k-k)t)+\cos((k+k)t)]dt={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }[1+\cos(2kt)]dt=$$\langle T_{k},T_{k}\rangle ={\frac {1}{2}}\int \limits _{{0}}^{{\pi }}[cos((k-k)t)+\cos((k+k)t)]dt={\frac {1}{2}}\int \limits _{{0}}^{{\pi }}[1+\cos(2kt)]dt=$

$={\frac {\pi }{2}}+\int \limits _{0}^{\pi }\cos(2kt)dt={\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{2k}}\int \limits _{0}^{2k\pi }\cos(t)dt={\frac {\pi }{2}}$$={\frac {\pi }{2}}+\int \limits _{{0}}^{{\pi }}\cos(2kt)dt={\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{2k}}\int \limits _{{0}}^{{2k\pi }}\cos(t)dt={\frac {\pi }{2}}$

W przypadku $k=j=0\,$$k=j=0\,$ dostajemy $\langle T_{0},T_{0}\rangle =\pi$$\langle T_{0},T_{0}\rangle =\pi$ co kończy dowód.

Przykłady wielomianów Czebyszewa

T₀ T₁, T₂ T₃ T₄ T₅

Dziesięć pierwszych wielomianów Czebyszewa:

$T_{0}(x)=1\,$$T_{0}(x)=1\,$

$T_{1}(x)=x\,$$T_{1}(x)=x\,$

$T_{2}(x)=2x^{2}-1\,$$T_{2}(x)=2x^{2}-1\,$

$T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,$$T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,$

$T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,$$T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,$

$T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,$$T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,$

$T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,$$T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,$

$T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,$$T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,$

$T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,$$T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,$

$T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.\,$$T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.\,$

Własności

Twierdzenie o minimaksie mówi, że unormowany (mający współczynnik 1 przy najwyższej potędze) wielomian Czebyszewa ${\frac {1}{2^{k-1}}}T_{k}(x)$${\frac {1}{2^{{k-1}}}}T_{k}(x)$ ma na odcinku [-1;1] najmniejszą normę jednostajną (maksymalna wartość absolutną) spośród wszystkich wielomianów stopnia k. Czyli dla dowolnego wielomianu postaci:

$w_{k}(x)=x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$$w_{k}(x)=x^{k}+a_{{k-1}}x^{{k-1}}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

zachodzi nierówność:

$\max _{x\in [-1;1]}|w_{k}(x)|\geqslant \max _{x\in [-1;1]}|{\frac {1}{2^{k-1}}}T_{k}(x)|$$\max _{{x\in [-1;1]}}|w_{k}(x)|\geqslant \max _{{x\in [-1;1]}}|{\frac {1}{2^{{k-1}}}}T_{k}(x)|$

Wiedząc, że dla każdego $x\in [-1;1]$$x\in [-1;1]$ wielomian $T_{k}(x)$$T_{k}(x)$ przyjmuje wszystkie wartości z $[-1;1]$$[-1;1]$, możemy napisać:

$\max _{x\in [-1;1]}|w_{k}(x)|\geqslant {\frac {1}{2^{k-1}}}$$\max _{{x\in [-1;1]}}|w_{k}(x)|\geqslant {\frac {1}{2^{{k-1}}}}$

Zastosowania

Przy interpolacji wielomianowej często zamiast równoodległych węzłów, używa się węzłów leżących w zerach wielomianów Czebyszewa. Pozwala to uniknąć tak zwanego efektu Rungego, czyli dużych oscylacji wielomianu interpolacyjnego przy krańcach przedziału. Fakt, że miejsca zerowe wielomianów Czebyszewa zagęszczają się ku krańcom przedziału, pozwala lepiej związać wielomian zapobiegając naturalnym dla wielomianów wysokiego rzędu oscylacjom.

Wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju

Definicja rekurencyjna

$T_{0}(x)=1\,$$T_{0}(x)=1\,$

$T_{1}(x)=2x\,$$T_{1}(x)=2x\,$

$T_{k}(x)=2x\cdot T_{k-1}(x)-T_{k-2}(x)$$T_{k}(x)=2x\cdot T_{{k-1}}(x)-T_{{k-2}}(x)$

Funkcja wagowa iloczynu skalarnego: $\rho (x)={\sqrt {1-x^{2}}}$$\rho (x)={\sqrt {1-x^{2}}}$

Zobacz też

• formuła trójczłonowa
• wielomiany Hermite'a
• wielomiany Laguerre'a
• wielomiany Legendre'a