Wielomiany Zernikego

Wielomiany Zernikego są zbiorem wielomianów ortogonalnych wewnątrz koła jednostkowego wprowadzonych przez Fritsa Zernike.

Definicja

Wielomiany Zernikego zdefiniowane są w postaci zespolonej:

$V_{n}^{\pm m}(\rho ,\theta )=R_{n}^{m}(\rho )\,\exp(\pm jm\theta ),$

gdzie:

$n,m$ są liczbami naturalnymi takimi, że $0\leqslant m\leqslant n,$ oraz $n-m$ jest parzyste,

$\rho ,\theta$ są współrzędnymi biegunowymi punktu (odpowiednio długością promienia wodzącego i wartością kąta skierowanego).

$R_{n}^{m}(\rho )$ jest wielomianem radialnym postaci:

$R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{s=0}^{\frac {n-m}{2}}(-1)^{s}{\frac {(n-s)!}{s!({\frac {n+m}{2}}-s)!({\frac {n-m}{2}}-s)!}}\rho ^{n-2s}.$

Czasami spotyka się również definicję wielomianów Zernikego w postaci rzeczywistej. Wyróżnia się parzyste i nieparzyste wielomiany Zernikego

$Z_{n}^{m}(\rho ,\theta )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\theta )$ – wielomian parzysty,

$Z_{n}^{-m}(\rho ,\theta )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\theta )$ – wielomian nieparzysty.

Przykłady

Kolejne wielomiany Zernike mają rozwinięcie

$V_{0}^{0}$	$1$
$V_{1}^{1}$	$\rho \exp(j\theta )$
$V_{2}^{0}$	$2\rho ^{2}-1$
$V_{2}^{2}$	$\rho ^{2}\ \exp(j2\theta )$
$V_{3}^{1}$	$(3\rho ^{3}-2\rho )\ \exp(j\theta )$
$V_{3}^{3}$	$\rho ^{3}\ \exp(j3\theta )$
$V_{4}^{0}$	$6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1$
$V_{4}^{2}$	$(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\ \exp(j2\theta )$
$V_{4}^{4}$	$\rho ^{4}\ \exp(j4\theta )$

Mapy jasności niektórych wielomianów Zernikego:

	$V_{2}^{0}$	$V_{2}^{2}$	$V_{3}^{1}$	$V_{3}^{3}$	$V_{4}^{0}$
Część rzeczywista
Część urojona

Własności

Wielomiany radialne są ortogonalne:

$\int \limits _{0}^{1}\rho R_{n}^{m}(\rho )\ R_{n'}^{m}(\rho )\ d\rho ={\frac {1}{2(n+1)}}\delta _{nn'}$

gdzie $\delta _{nn'}$ oznacza deltę Kroneckera. Podobnie, ortogonalność zachodzi dla wielomianów Zernikego:

$\iint \rho [V_{n}^{m}(\rho ,\theta )]^{*}\ V_{p}^{q}(\rho ,\theta )\ d\rho d\theta ={\frac {\pi }{n+1}}\delta _{nm}\delta _{pq}$

Wielomiany te posiadają również własność rotacyjną

$V_{n}^{m}(\rho ,\theta +\alpha )=V_{n}^{m}(\rho ,\theta )\exp(jm\alpha )$

co oznacza, że ich moduł jest niezależny od obrotu:

$|V_{n}^{m}(\rho ,\theta +\alpha )|=|V_{n}^{m}(\rho ,\theta )|.$

Sprzężenie wielomianu Zernikego ma wartość:

$(V_{n}^{m}(\rho ,\theta ))^{*}=V_{n}^{-m}(\rho ,\theta )$

Zastosowanie

W optyce, wielomiany Zernikego stosuje się do opisu aberracji soczewek.

Wielomiany Zernikego znalazły też zastosowanie w cyfrowym przetwarzaniu obrazów, do dekompozycji obrazów na tzw. momenty Zernikego.

Zobacz też

• wielomiany Legendre’a

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Zernike Polynomial, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).
• James C. Wyant: „Zenike Polyniomials”. optics.arizona.edu. [zarchiwizowane z tego adresu (2006-09-06)]. (en.)