Wielowymiarowy rozkład normalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Dwuwymiarowy rozkład normalny

Wielowymiarowy rozkład normalnyrozkład wielowymiarowej zmiennej losowej, będący uogólnieniem rozkładu normalnego na n wymiarów.

Definicja[edytuj]

n-wymiarowa zmienna losowa podlega n-wymiarowemu rozkładowi normalnemu jeśli dowolna kombinacja liniowa jej składowych ma rozkład normalny.

Funkcja gęstości n-wymiarowego rozkładu normalnego wektora losowego o wektorze wartości oczekiwanych i macierzy kowariancji dana jest wzorem:

Oznacza się to w skrócie zapisem

Niezależność zmiennych[edytuj]

Dla wielowymiarowego rozkładu normalnego jeśli składowe wektora losowego o wielowymiarowym rozkładzie normalnym są niezależne to są nieskorelowane i odwrotnie, jeśli są nieskorelowane to są niezależne. Wówczas funkcja gęstości wektora losowego jest iloczynem funkcji gęstości każdej ze zmiennych:

Zmienne losowe (nawet nieskorelowane) o rozkładzie normalnym nie muszą razem tworzyć wektora o wielowymiarowym rozkładzie normalnym. Wówczas powyższa zależność nie musi być prawdziwa. Na przykład, niech , niech będzie zmienną losową przyjmującą wartości 1 i -1 z równym prawdopodobieństwem 0.5, niezależną od , oraz niech . Wówczas i są nieskorelowane, normalne, ale są zależne. Nie tworzą one jednak wielowymiarowego rozkładu normalnego. Cała masa prawdopodobieństwa ich wspólnego rozkładu znajduje się na prostych y=x, y=-x, podczas gdy nośnikiem wielowymiarowego rozkładu normalnego jest całą płaszczyzna . W szczególności zmienna ma rozkład mieszany (dyskretno-ciągły), i z prawdopodobieństwem 0.5 przyjmuje wartość 0, a więc nie jest spełniona definicja wielowymiarowego rozkładu normalnego: pewna kombinacja liniowa składowych wektora losowego nie ma rozkładu normalnego.

Estymacja parametrów[edytuj]

Mając dane N wektorów pobranych z pewnego wielowymiarowego rozkładu normalnego o wektorze wartości oczekiwanych i macierzy kowariancji możemy oszacować jego parametry w następujący sposób:

Estymator wartości oczekiwanej:

Estymator macierzy kowariancji o największej wiarygodności :

Estymator nieobciążony macierzy kowariancji:

Symulacja[edytuj]

W celu uzyskania wektora losowego o rozkładzie danym przez wektor średni i macierz kowariancji , postępujemy według następującego algorytmu:

  1. Stosujemy rozkład Choleskiego względem macierzy , tak by otrzymać macierz , dla której zachodzi:
  2. Tworzymy wektor n niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym, stosując np. metodę Boxa-Mullera.
  3. Szukany wektor to

Zobacz też[edytuj]