Wikiprojekt:SKFiz/brudnopis/Para dwoista

Para dwoista albo dualna – w algebrze liniowej para przestrzeni wektorowych (ogólniej modułów) nad ustalonym ciałem (pierścieniem) z formą dwuliniową spełniającą „warunki rozdzielenia” (czyli niezdegenerowaną) określoną na ich iloczynie kartezjańskim oznaczaną symbolem $\scriptstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle$. Relację tę nazywamy dalej „parowaniem”. „Parowaniem” nazywa się również samą konstrukcję pary dwoistej (oraz wynik tej operacji).

W szerszym znaczeniu parę modułów nazywamy dualną nawet wtedy, kiedy parowanie nie spełnia własności rozdzielania. Wtedy parę dualną nazywamy doskonałą, jeżeli jej parowanie jest niezdegenerowane (jeśli powstała para dwoista jest doskonała, to parowanie również nazywa się wtedy doskonałym). Doskonałe pary dualne umożliwiają utożsamienie jednego modułu z modułem dualnym do drugiego, a więc rozpoznanie danego modułu jako dualnego do innego nawet wtedy, gdy nie został on pierwotnie zdefiniowany w ten sposób.

Przestrzeń euklidesową $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ utożsamia się zwykle z jej przestrzenią dualną za pomocą standardowego iloczynu skalarnego; ponieważ jest on dodatnio określoną, a więc niezdegenerowaną formą dwuliniową $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,$ to parowanie to jest doskonałe. Utożsamienie to przyczyniło się prawdopodobnie do pewnego zastoju rozwoju algebry liniowej, gdyż dostrzeżenie, że przestrzeń dualna może być sama w sobie przedmiotem badań, wymaga pewnej wnikliwości w przypadku przestrzeni euklidesowych, gdzie nie różni się ona niczym od przestrzeni wyjściowej To, że przestrzeń sprzężona jest obiektem samodzielnym obiektem względem oryginalnej przestrzeni zauważono po raz pierwszy w kontekście analizy funkcjonalnej, gdzie bada się zwykle pary doskonałe przestrzeni liniowych nad wspólnym ciałem, które umożliwiają rozpoznanie struktury ważniejszych z punktu widzenia tej dziedziny przestrzeni sprzężonych topologicznie (przestrzeni ciągłych funkcjonałów liniowych nazywanej dalej „przestrzenią sprzężoną”), a nie zwykle dużo większych od nich przestrzeni sprzężonych algebraicznie (przestrzeni wszystkich funkcjonałów liniowych nazywanej dalej „przestrzenią dualną”) – przykładowo przestrzenie sprzężone do przestrzeni funkcji ciągłych są przestrzeniami miar, a więc funkcji nieciągłych.

Definicja formalna

Trójkę $\scriptstyle (U,V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ nazywamy parą dwoistą, jeżeli:

• $\scriptstyle U$ i $\scriptstyle V$ są przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $\scriptstyle \mathbb {F}$
• $\scriptstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :U\times V\to \mathbb {F}$ jest funkcjonałem dwuliniowym
• Są spełnione następujące warunki rozdzielenia:

  $\scriptstyle \forall 0\neq u\in U:\exists v\in V:\langle u,v\rangle \neq 0$

  $\scriptstyle \forall 0\neq v\in V:\exists u\in U:\langle u,v\rangle \neq 0$

Przykłady

Trójka $\scriptstyle (V^{*},V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ dla $\scriptstyle \langle \phi ,v\rangle =\phi (v)$ jest parą dwoistą. Ponadto dla skończeniewymiarowych $\scriptstyle U$, $\scriptstyle V$ odwzorowania

$\scriptstyle U\ni u\mapsto {\hat {u}}=\langle u,\cdot \rangle \in V^{*}$

$\scriptstyle V\ni v\mapsto {\hat {v}}=\langle \cdot ,v\rangle \in U^{*}$

są kanonicznymi izomorfizmami. Dla nieskończeniewymiarowych przestrzeni odwzorowania te są monomorfizmami, ale przynajmniej jedno z nich nie jest bijektywne.

Ponadto parami dwoistymi są $\scriptstyle (U,V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ dla:

• $\scriptstyle U=V$, gdy $\scriptstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle$ jest nieosobliwą formą dwuliniową na $\scriptstyle U$ (Jeżeli $\scriptstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle$ jest formą symetryczną, nazywamy ją iloczynem skalarnym na $\scriptstyle U$, a jeżeli jest formą antysymetryczną, nazywamy ją formą symplektyczną na $\scriptstyle U$.)
• $\scriptstyle U=\mathbb {F} ^{m}{}_{n}$, $\scriptstyle V=\mathbb {F} ^{n}{}_{m}$ – macierze odpowiedniego kształtu o elementach z ciała $\scriptstyle \mathbb {F}$ i odwzorowanie przypisujące im ślad iloczynu $\scriptstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :(u,v)\mapsto \operatorname {tr} (uv)$
• $\scriptstyle U=\operatorname {L} (X,Y)$, $\scriptstyle V=\operatorname {L} (Y,X)$ – odwzorowania liniowe między przestrzeniami wektorowymi $\scriptstyle X$ i $\scriptstyle Y$ i odwzorowanie przypisujące im ślad złożenia (jako endomorfizmu) $\scriptstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :(u,v)\mapsto \operatorname {tr} (u\circ v)$
• $\scriptstyle U=V=\{x\in \mathbb {F} ^{\mathbb {N} }:{\text{dla prawie wszystkich }}i\;x_{i}=0\}$ – ciągi mające tylko skończenie wiele wyrazów niezerowych z $\scriptstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :(u,v)\mapsto \sum _{k=1}^{\infty }u_{k}v_{k}$
• $\scriptstyle U=V=\mathbb {F} _{n}[\cdot ]$ – wielomiany stopnia nie większego niż $\scriptstyle n$ z odwzorowaniem $\scriptstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :(u,v)\mapsto \left.\left[u\left({\frac {d}{dt}}\right)v(t)\right]\right|_{t=0}=\sum _{k}{\frac {a_{k}b_{k}}{k!}}$, gdzie $u\left({\frac {d}{dt}}\right)$ traktuje się jak operator różniczkowy

Ponadto:

• W dowolnym module $\scriptstyle R^{n}$ nad pierścieniem $\scriptstyle R$ (standardowy) iloczyn skalarny definiuje się podobnie jak w przypadku przestrzeni euklidesowych, tzn. wzorem $\scriptstyle \langle {\mathsf {x}},{\mathsf {y}}\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i},$ gdzie $\scriptstyle {\mathsf {r}}=(r_{1},\dots ,r_{n})$ jest elementem tego modułu; w szczególności dla $\scriptstyle n=1$ parowanie realizowane jest przez zwykłe mnożenie.
• W przestrzeni macierzy kwadratowych $\scriptstyle \mathrm {M} _{n}(R)$ stopnia $\scriptstyle n$ nad pierścieniem $\scriptstyle R$ istnieją dwa „naturalne” parowania: $\scriptstyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle =\mathrm {tr} (\mathbf {AB} )$ oraz $\scriptstyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle =\mathrm {tr} \left(\mathbf {AB} ^{\mathrm {T} }\right)$; macierze te można interpretować jako reprezentacje endomorfizmów przestrzeni liniowej (definicję tę można rozszerzyć na endomorfizmy dowolnych przestrzeni). Podobnie można zdefiniować parę dwoistą dla przestrzeni macierzy $\scriptstyle \mathrm {M} _{m\times n}(R)$ i $\scriptstyle \mathrm {M} _{n\times m}(R)$ (i odpowiadających im przekształceń liniowych).
• Jeśli $\scriptstyle R=\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-14}}\right],$ a $\scriptstyle I=\left(3,1+{\sqrt {-14}}\right)$ oraz $\scriptstyle J=\left(3,1-{\sqrt {-14}}\right)$ są jest ideałami tego pierścienia, to równość $\scriptstyle IJ=(3)=3R$ umożliwia wskazanie izomorfizmów $\scriptstyle I^{\star }\simeq J$ oraz $\scriptstyle J^{\star }\simeq I$ traktowanych jako $\scriptstyle R$-moduły, przez co $\scriptstyle I$ i $\scriptstyle J$ można uważać za moduły dualne względem siebie; innymi słowy zachodzi parowanie $\scriptstyle I\times J\to R$ między tymi modułami dane wzorem $\scriptstyle \langle {\mathsf {x}},{\mathsf {y}}\rangle ={\mathsf {xy}}/3.$
• Niech $\scriptstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \mathbb {R} [\mathrm {X} ]\times \mathbb {R} [\mathrm {X} ]\to \mathbb {R} ,$ gdzie $\scriptstyle \mathbb {R} [\mathrm {X} ]$ jest pierścieniem wielomianów, będzie dane wzorem $\scriptstyle \langle \mathrm {f} ,\mathrm {g} \rangle =\mathrm {f} (0)\mathrm {g} (0).$ Dla dowolnego $\scriptstyle \mathrm {g}$ zachodzi $\scriptstyle \langle \mathrm {X} ,\mathrm {g} \rangle =0,$ choć $\scriptstyle \mathrm {X} \neq \mathrm {0}$ w $\scriptstyle \mathbb {R} [\mathrm {X} ];$ ogólniej: $\scriptstyle \langle \mathrm {f} ,\mathrm {g} \rangle =0$ dla dowolnego $\scriptstyle \mathrm {g} ,$ o ile $\scriptstyle \mathrm {X} |\mathrm {f} .$
• Parowanie $\scriptstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon M\times M^{\star }\to R$ dane wzorem $\scriptstyle \langle {\mathsf {m}},\varphi \rangle =\varphi ({\mathsf {m}})$ jest standardowym parowaniem między modułem a modułem do niego dualnym.
• W analizie definiuje się dla wykładników sprzężonych $\scriptstyle p$ i $\scriptstyle q$ parowanie $\scriptstyle \mathrm {L} ^{p}[0,1]\times \mathrm {L} ^{q}[0,1]\to \mathbb {R}$ dane wzorem $\scriptstyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(x)g(x)\mathrm {d} x,$ gdzie $\scriptstyle \mathrm {L} ^{p}$ oznacza przestrzeń Lebesgue'a.
• W topologii rozważa się parowanie $\scriptstyle \Omega ^{1}(X)\times H^{1}(X,\mathbb {R} )\to \mathbb {R}$ form różniczkowych i klas kohomologii określonych na rozmaitości $\scriptstyle X$ zadane jako całkowanie $\scriptstyle \langle \omega ,\gamma \rangle =\int _{\gamma }\omega .$

Własności

Algebra

Jeśli $\scriptstyle \mathrm {Bil} _{R}(M,N;R)$ oznacza $\scriptstyle R$-moduł form dwuliniowych $\scriptstyle M\times N\to R,$ to moduły $\scriptstyle \mathrm {Bil} _{R}(M,N;R),$ $\scriptstyle \mathrm {Hom} _{R}\left(M,N^{\star }\right),$ $\scriptstyle \mathrm {Hom} _{R}\left(N,M^{\star }\right)$ są izomorficzne.

Niech $\scriptstyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon M\times N\to R$ będzie parowaniem między $\scriptstyle R$-modułami $\scriptstyle M,N.$ Może być ono wykorzystane do postrzegania jednego z tych modułów jako „części” modułu dualnego do drugiego: dla każdego $\scriptstyle {\mathsf {m}}\in M$ wzór $\scriptstyle {\mathsf {n}}\mapsto \langle {\mathsf {m}},{\mathsf {n}}\rangle$ definiuje funkcjonał na $\scriptstyle N,$ podobnie dla każdego $\scriptstyle {\mathsf {n}}\in N$ wzór $\scriptstyle {\mathsf {m}}\mapsto \langle {\mathsf {m}},{\mathsf {n}}\rangle$ jest funkcjonałem na $\scriptstyle M.$ Może się zdarzyć, że $\scriptstyle \langle {\mathsf {m}},{\mathsf {n}}\rangle =0$ dla wszystkich $\scriptstyle n$ przy $\scriptstyle m\neq 0$ (zob. czwarty przykład); wynika stąd, że różne elementy $\scriptstyle M$ zachowują się jak jeden element $\scriptstyle N^{\star }.$ Jeśli parowanie jest doskonałe, tzn. indukowane przekształcenia liniowe $\scriptstyle M\to N^{\star }$ i $\scriptstyle N\to M^{\star }$ są jednocześnie izomorfizmami, to taka sytuacja nie może mieć miejsca – umożliwia to utożsamienie jednego modułu z „pełnym” modułem dualnym do drugiego modułu.

Jeśli $\scriptstyle M,N$ są skończenie generowanymi modułami wolnymi tej samej rangi, to sprawdzenie doskonałości parowania miedzy nimi wymaga zbadania izomorficzności przekształcenia indukowanego $\scriptstyle M\to N^{\star };$ przekształcenie $\scriptstyle N\to M^{\star }$ będzie wówczas izomorfizmem, gdyż jest ono dualne do poprzedniego (zamiast izomorficzności wystarczy zbadać, czy homomorfizm liniowy jest epimorfizmem). W przypadku przestrzeni liniowych tego samego skończonego wymiaru wystarczy sprawdzić różnowartościowość (tj. niezdegenerowanie: $\scriptstyle \langle {\mathsf {m}},{\mathsf {n}}\rangle =0$ dla wszystkich $\scriptstyle {\mathsf {n}},$ tylko gdy $\scriptstyle {\mathsf {m}}=0$ lub równoważnie dla $\scriptstyle {\mathsf {m}}\neq 0$ istnieje $\scriptstyle {\mathsf {n}},$ dla którego $\scriptstyle \langle {\mathsf {m}},{\mathsf {n}}\rangle \neq 0$), gdyż różnowartościowe przekształcenie liniowe między przestrzeniami liniowymi równego wymiaru jest izomorfizmem.

Parowania w przykładach czwartym, piątym i szóstym nie są doskonałe; parowanie w przykładzie piątym jest doskonałe wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie naturalne $\scriptstyle M\to M^{\star \star }$ jest izomorfizmem, tzn. moduł $\scriptstyle M$ jest refleksywny; parowanie w przykładzie szóstym jest doskonałe, jeśli wykorzystać przestrzeń sprzężoną zamiast dualnej (tzn. przestrzeń ciągłych funkcjonałów liniowych). Powyższa uwaga dotycząca przykładu piątego wynika z ogólnej obserwacji: istnienie parowania doskonałego między $\scriptstyle M$ a $\scriptstyle N$ pociąga za sobą izomorficzność przekształcenia naturalnego $\scriptstyle M\to M^{\star \star }$. W ten sposób elementami pary doskonałej mogą być wyłącznie moduły refleksywne.

Analiza

Niech $\scriptstyle X,Y$ będą przestrzeniami liniowymi (tzn. modułami) nad wspólnym ciałem. Doskonałe parowanie między $\scriptstyle X$ a $\scriptstyle Y$ wyznacza na tych przestrzeniach topologie odpowiednio $\scriptstyle \sigma (X,Y)$ oraz $\scriptstyle \sigma (X,Y),$ które składają się odpowiednio z otoczeń

$U_{y}(\varepsilon )={\bigl \{}x\in X\colon \langle x,y\rangle <\varepsilon {\bigr \}}_{\begin{smallmatrix}y\in Y\\\varepsilon >0\end{smallmatrix}}\quad {\mbox{ oraz }}\quad V_{x}(\varepsilon )={\bigl \{}y\in Y\colon \langle x,y\rangle <\varepsilon {\bigr \}}_{\begin{smallmatrix}x\in X\\\varepsilon >0\end{smallmatrix}}$

oraz ich skończonych przecięć i nieskończonych sum (zob. baza otoczeń); wspomniane topologie czynią z $\scriptstyle X$ i $\scriptstyle Y$ lokalnie wypukłe przestrzenie liniowo-topologiczne (sprzężone względem siebie).

W przypadku przestrzeni unormowanej $\scriptstyle X$ i sprzężonej do niej przestrzeni $\scriptstyle X^{*}$ topologie $\scriptstyle \sigma (X,X^{*})$ oraz $\scriptstyle \sigma (X^{*},X)$ nazywa się odpowiednio słabą oraz *-słabą. Dowolna przestrzeń Hilberta jest sprzężona względem siebie („samosprzężona”) z iloczynem skalarnym jako parowaniem (doskonałym). Każda przestrzeń lokalnie wypukła (w szczególności przestrzeń unormowana) $\scriptstyle X$ jest sprzężona do $\scriptstyle X^{*}$ ze względu na formę dwuliniową $\scriptstyle \langle x,x^{*}\rangle \mapsto \langle x^{*},x\rangle ,$ gdzie $\scriptstyle x\in X$ oraz $\scriptstyle x^{*}\in X^{*},$ zaś $\scriptstyle \langle x^{*},x\rangle$ jest wartością funkcjonału $\scriptstyle x^{*}$ dla elementu $\scriptstyle x.$

Bazy dwoiste

Parę układów wektorów $\scriptstyle e_{V}=(e_{1},\ldots ,e_{r})$ dla $\scriptstyle V$ i $\scriptstyle e_{U}=(e^{1},\ldots ,e^{r})$ dla $\scriptstyle U$ nazywamy układami wzajemnie sprzężonymi, jeśli $\scriptstyle \langle e^{i},e_{j}\rangle$ wynosi $\scriptstyle 1$ dla $\scriptstyle i=j$ i $\scriptstyle 0$ w przeciwnym przypadku.

Parę baz nazywamy (wzajemnie) sprzężoną, dualną lub dwoistą, jeżeli bazy te są układami wzajemnie sprzężonymi. Relacja relacja sprzężenia baz jest odpowiedniością bijektywną $\scriptstyle e\leftrightarrow e^{*}$.

Własności i przykłady:

• $\scriptstyle \forall v\in \operatorname {span} e_{V}:v=\sum _{i}e_{i}\langle e^{i},v\rangle$

  $\scriptstyle \forall u\in \operatorname {span} e_{U}:u=\sum _{i}\langle u,e_{i}\rangle e^{i}$

  ($\scriptstyle \operatorname {span} e$ oznacza przestrzeń rozpiętą przez układ wektorów $\scriptstyle e$)

• Każdy z układów wzajemnie sprzężonych jest układem liniowo niezależnym, a jednocześnie każdy układ liniowo niezależny w V ma układ sprzężony. (Dla $\scriptstyle r$ mniejszego od wymiaru przestrzeni $\scriptstyle U$ i $\scriptstyle V$ nie ma jednoznaczności: do $\scriptstyle e^{i}$ można dodać „poprawki” $\scriptstyle u_{i}$ takie, że $\scriptstyle \forall v\in \operatorname {span} e:\langle u^{i},v\rangle$ = 0)
• Dla pary dwoistej $\scriptstyle U=\mathbb {F} _{n}$, $\scriptstyle V=\mathbb {F} ^{n}$, gdzie $\scriptstyle \langle u,v\rangle =uv=\sum _{i}u_{i}v^{i}$ jeśli $\scriptstyle X\in \mathbb {F} ^{n}{}_{n}$ jest macierzą odwracalną, bazę dwoistą względem bazy utworzonej z kolumn macierzy $\scriptstyle X$ tworzą wiersze macierzy odwrotnej $\scriptstyle X^{-1}$.
• Wtedy i tylko wtedy, kiedy „macierze przejść” $\scriptstyle [A^{i}{}_{j}]$ i $\scriptstyle [B^{i}{}_{j}]$ są wzajemnie odwrotne, dualność przekształconych baz jest równa dualności zwykłych: $\scriptstyle f_{j}=\sum _{i}e_{i}A^{i}{}_{j}\iff f^{i}=\sum _{j}B^{i}{}_{j}e^{j}$.

  Dowód: $\scriptstyle \langle f^{i},f_{j}\rangle =\langle \sum _{r}B^{i}{}_{r}e^{r},\sum _{s}e_{s}A^{s}{}_{j}\rangle =\sum _{r}\sum _{s}\langle B^{i}{}_{r}e^{r},e_{s}A^{s}{}_{j}\rangle =\sum _{r}B^{i}{}_{r}A^{r}{}_{j}=\delta ^{i}{}_{j}$

Przypisy

[[Kategoria:Algebra liniowa]] [[Kategoria:Analiza funkcjonalna]]