Wnętrze (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Punkt jest punktem wewnętrznym figury

Wnętrze zbioru (figury, bryły) – pojęcie w geometrii lub topologii, zbiór tych punktów przestrzeni, które należą do zbioru wraz z pewnym swoim otoczeniem.

Wnętrze zbioru oznaczamy lub Punkty należące do wnętrza zbioru nazywamy punktami wewnętrznymi zbioru.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Z definicji wnętrza zbioru wynikają bezpośrednio poniższe jego własności.

  1. Wnętrze zbioru jest otwartym podzbiorem
  2. Wnętrze jest sumą wszystkich otwartych podzbiorów
  3. Wnętrze jest największym zbiorem otwartym zawartym w
  4. Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest swoim własnym wnętrzem.
  5. Wnętrze dowolnego zbioru równe jest swojemu wnętrzu:
  6. Jeżeli jest podzbiorem to jest podzbiorem
  7. Wnętrze części wspólnej zbiorów jest częścią wspólną wnętrz tych zbiorów:
  8. Jeżeli jest zbiorem otwartym, to jest podzbiorem wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzbiorem

Wnętrze zbioru zależy od topologii – jeżeli na przestrzeni dane są dwie różne topologie, to ten sam zbiór może być wnętrzem w jednej topologii, a w innej nie.

W przestrzeni metrycznej punkt zbioru jest punktem wewnętrznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kula o środku w punkcie całkowicie zawarta w zbiorze

Pozostałe własności[edytuj | edytuj kod]

  1. dla dowolnych zbiorów
  2. dla dowolnej rodziny zbiorów
  3. Dla każdego mamy

  4. przykład:

Operacja wnętrza a topologia[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli operację brania wnętrza zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia warunki 5, 6, 7 oraz warunek gdzie oznacza całą przestrzeń, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację wnętrza w zbiorze [1].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • W dowolnej przestrzeni wnętrze zbioru pustego jest zbiorem pustym, a wnętrzem całej przestrzeni jest przestrzeń.
  • W przestrzeni dyskretnej każdy zbiór jest swoim wnętrzem.
  • Niech oznacza zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią. Wówczas:
    • wnętrzem przedziału domkniętego jest przedział otwarty
    • wnętrzem przedziału jest przedział
    • wnętrzem zbioru skończonego jest zbiór pusty
    • wnętrzem zbioru liczb wymiernych jest zbiór pusty
    • wnętrzem zbioru liczb niewymiernych także jest zbiór pusty
    • zbiór ma niepuste wnętrze wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewien przedział.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 37.