Wnętrze (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Punkt W jest punktem wewnętrznym figury.

Wnętrze zbioru (figury, bryły) F – pojęcie w geometrii lub topologii, zbiór tych punktów przestrzeni, które należą do zbioru F wraz z pewnym swoim otoczeniem.

Wnętrze zbioru F oznaczamy Int(F), int(F) lub F°. Punkty należące do wnętrza zbioru nazywamy punktami wewnętrznymi zbioru.

Własności[edytuj]

Z definicji wnętrza zbioru wynikają bezpośrednio poniższe jego własności.

  1. Wnętrze zbioru F jest otwartym podzbiorem F.
  2. Wnętrze jest sumą wszystkich otwartych podzbiorów F.
  3. Wnętrze jest największym zbiorem otwartym zawartym w F.
  4. Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest swoim własnym wnętrzem.
  5. Wnętrze dowolnego zbioru równe jest swojemu wnętrzu: int(int(S)) = int(S).
  6. Jeżeli S jest podzbiorem F, to int(S) jest podzbiorem int(F): SF ⇒ int(S) ⊆ int(F) .
  7. Wnętrze części wspólnej zbiorów jest częścią wspólną wnętrz tych zbiorów: int(SF) = int(S) ∩ int(F)
  8. Jeżeli S jest zbiorem otwartym, to S jest podzbiorem F wtedy i tylko wtedy, gdy S jest podzbiorem int(F).

Wnętrze zbioru zależy od topologii – jeżeli na przestrzeni dane są dwie różne topologie, to ten sam zbiór może być wnętrzem w jednej topologii, a w innej nie.

W przestrzeni metrycznej punkt p zbioru F jest punktem wewnętrznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kula o środku w punkcie p całkowicie zawarta w zbiorze F.

Pozostałe własności[edytuj]

  1. dla dowolnych zbiorów
  2. dla dowolnej rodziny zbiorów
  3. Dla każdego mamy

  4. przykład:

Operacja wnętrza a topologia[edytuj]

Jeżeli operację brania wnętrza zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia warunki 5, 6, 7 oraz warunek int(X)=X, gdzie X oznacza całą przestrzeń, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację wnętrza w zbiorze X[1].

Przykłady[edytuj]

  • W dowolnej przestrzeni wnętrze zbioru pustego jest zbiorem pustym, a wnętrzem całej przestrzeni jest przestrzeń.
  • W przestrzeni dyskretnej każdy zbiór jest swoim wnętrzem.
  • Niech R oznacza zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią. Wówczas:
    • wnętrzem przedziału domkniętego [a, b] jest przedział otwarty (a, b)
    • wnętrzem przedziału [a, b) jest przedział (a, b)
    • wnętrzem zbioru skończonego jest zbiór pusty
    • wnętrzem zbioru liczb wymiernych jest zbiór pusty
    • wnętrzem zbioru liczb niewymiernych także jest zbiór pusty
    • zbiór ma niepuste wnętrze wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewien przedział.


Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 37.