Wskaźnik uwarunkowania

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wskaźnik uwarunkowania określa w jakim stopniu błąd reprezentacji numerycznej danych wejściowych danego problemu wpływa na błąd wyniku. Wskaźnik uwarunkowania definiuje się jako maksymalny stosunek błędu względnego rozwiązania do błędu względnego danych. Problem o niskim wskaźniku uwarunkowania nazywamy dobrze uwarunkowanym zaś problemy o wysokim wskaźniku uwarunkowania – źle uwarunkowanymi. Zagadnienia o zbyt dużym wskaźniku uwarunkowania nie nadają się do numerycznego rozwiązywania ponieważ, już sam błąd wynikający z numerycznej reprezentacji liczb wprowadza nieproporcjonalnie duży błąd.

Wskaźnik uwarunkowania jest cechą problemu i jest niezależny od numerycznych właściwości konkretnych algorytmów. W odróżnieniu od błędu zaokrągleń wprowadzonego przez algorytm, wskaźnik uwarunkowania stanowi informację o błędzie przeniesionym z danych.

Wskaźnik uwarunkowania macierzy[edytuj]

Wskaźnik uwarunkowania macierzy w równaniu jest charakterystyczną własnością macierzy informującą o tym jakie wzmocnienie będzie miała zmiana normy macierzy A na normę rozwiązania x.

Wskaźnik uwarunkowania macierzy definiuje się bardziej precyzyjnie jako maksymalny stosunek błędu względnego wektora rozwiązania do błędu względnego

Załóżmy, że jest błędem . Stąd błąd w rozwiązaniu wynosi . Stąd stosunek relatywnego błędu rozwiązania do relatywnego błędu w wynosi:


Można to przekształcić do:

Maksymalna wartość (dla niezerowych i ) będzie iloczynem dwóch norm (definiowanych w różny sposób, np. często jako normę traktuje się maksymalną sumę wartości bezwzględnych wierszy):

Definicja ta jest taka sama dla każdej zwartej normy. Liczba ta pojawia się tak często w algebrze liniowej, że nadano jej nazwę wskaźnika uwarunkowania macierzy

Zastosowania[edytuj]

Wskaźnik uwarunkowania macierzy pozwala na oszacowanie, z jaką (maksymalnie) dokładnością (do ilu miejsc po przecinku) możemy podać wynik. Dokładność jest zależna od iloczynu epsilonu maszynowego i wskaźnika uwarunkowania. Załóżmy dla przykładu, że mamy macierz :

Stosując tak zdefiniowaną normę: możemy obliczyć wskaźnik uwarunkowania .

Załóżmy dodatkowo, że mamy do czynienia z maszyną, która przechowuje liczby rzeczywiste używając 24 bitowej mantysy, wtedy epsilon maszynowy wynosi . Po pomnożeniu tych wartości możemy oszacować do ilu miejsc po przecinku otrzymany wynik będzie istotny na podstawie poniższej równości: . Obliczając m, możemy wnioskować, że w tym przypadku dokładność wyniesie 6 miejsc po przecinku.
Jako inny przykład rozpatrzmy prosty układ równań typu . Jeśli do naszych obliczeń wybierzemy macierz o wysokim wskaźniku uwarunkowania, np.:

 ; ,

to otrzymane rozwiązanie jest niestabilne. Oznacza to, że mała zmiana wartości współczynników może znacząco wpłynąć na wynik. W podanym wyżej przypadku rozwiązanie wynosi . Jeśli zmodyfikujemy następująco wektor , to otrzymamy rozwiązanie .
W przypadku macierzy dobrze uwarunkowanej np.:

 ; ,

rozwiązanie wynosi . Jeśli zmodyfikujemy następująco wektor , to otrzymamy rozwiązanie , które jest zbliżone do poprzedniego.

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]