Współczynnik wypełnienia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Współczynnik wypełnienia impulsu jest to stosunek czasu trwania impulsu do okresu tego impulsu

k_w=\frac {\tau}{T}

Wyrażany jest w postaci ułamka (z zakresu 0÷1) lub w procentach. Jest określany dla sygnałów, które mają charakter okresowy. Współczynnik wypełnienia ma wówczas stałą wartość. Może się on zmieniać, gdy zmienia się sam sygnał.

Współczynnik wypełnienia a moc[edytuj | edytuj kod]

rys.1 Stosunek powierzchni części zielonej do łącznej powierzchni zielonej i niebieskiej jest współczynnikiem wypełnienia

Czas trwania impulsu łatwo jest określić dla sygnału o przebiegu prostokątnym, ewentualnie trójkątnym. W przypadku bardziej złożonych przebiegów można posłużyć się inną definicją współczynnika wypełnienia: jest to stosunek rzeczywistej mocy impulsu do mocy maksymalnej[1].

Rzeczywista moc impulsu jest wówczas definiowana jako średnia moc impulsu po czasie (okresie). Jeżeli przebieg impulsu opisuje funkcja

\ f(t)

wówczas jego moc zmienia się zgodnie ze wzorem

P(t)=\left[ f(t) \right]^{2}

a moc uśredniona po okresie T

P_{s}=\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}{P(t)\operatorname{d}t}\quad \quad P_{s}=\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T}{\left[ f(t) \right]^{2}\operatorname{d}t}

Moc maksymalna jest zdefiniowana jako moc sygnału stałego o największej amplitudzie jaką osiąga dany impuls

P_{0 }=\left[ f_{\max }\left( t \right) \right]^{2}

Współczynnik wypełnienia można więc zapisać w postaci wzoru

k_{w}=\frac{P_{s}}{P_{0 }}
k_{w}=\frac{1}{TP_{0 }}\int\limits_{0}^{T}{P(t)\operatorname{d}t}

Przykłady wyznaczania współczynnika wypełnienia[edytuj | edytuj kod]

rys.2 Przebieg prostokątny o współczynniku wypełnienia 0,5

Jeżeli przebieg czasowy impulsu nie da się wyrazić analitycznie przez funkcję f(t), wówczas współczynnik wypełnienia może być obliczony metodami numerycznymi, np. metodą Monte Carlo, lub oszacowany innymi metodami. Jeżeli znana jest postać funkcji f(t), współczynnik można obliczyć analitycznie. Dla sygnału stałego w czasie współczynnik wypełnienia jest równy 1, dla sygnału impulsowego, w którym impulsy są bardzo krótkie, kw ≈ 0.

Przebieg prostokątny[edytuj | edytuj kod]

Jest to najłatwiejszy przypadek dla obliczania współczynnika wypełnienia, ponieważ wówczas

\int\limits_{0}^{T}{P(t)\operatorname{d}t}=P_{0}\tau

gdzie τ jest czasem trwania pojedynczego impulsu (rys.2). Wówczas wzór na współczynnik wypełnienia przyjmuje postać

k_{w}=\frac{P_{0}\tau }{TP_{0}}=\frac{\tau }{T}

Przebieg sinusoidalny[edytuj | edytuj kod]

rys.3 Przebieg sinusoidalny

Niech moc impulsu wyrażona jest wzorem

P(t)=P_{0}\left| \sin (\omega t+\phi ) \right|

gdzie

ω = π/T - częstość kołowa (tutaj okres jest dwukrotnie mniejszy niż w przypadku funkcji sin(t)),
φ - faza początkowa.

Można obliczyć rzeczywistą moc impulsu

P_{s}=\frac{P_{0}}{T}\int\limits_{0}^{T}{\left| \sin (\omega t+\phi ) \right|\operatorname{d}t}
P_{s}=-\frac{P_{0}}{T}\cdot \left. \frac{1}{\omega }\cos (\omega t+\phi ) \right|_{0}^{T}
P_{s}=-\frac{P_{0}}{T}\cdot \frac{T}{\pi }\left( -2 \right)=\frac{2P_{0}}{\pi }

Stąd współczynnik wypełnienia będzie miał wartość

k_{w}=\frac{2}{\pi }\approx 0,637

Przypisy