Współrzędne krzywoliniowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Rys. 1. Układy współrzędnych: krzywoliniowy (u góry), afiniczny (z prawej), kartezjański (z lewej) w przestrzeni 2-wymiarowej

Współrzędne krzywoliniowe – współrzędne określone w przestrzeni euklidesowej 2-wymiarowej, 3-wymiarowej i w ogólności n-wymiarowej, którym odpowiadają w ogólnym przypadku linie współrzędnych będące liniami krzywymi (por. rys. 1). Do współrzędnych tych zalicza się współrzędne: prostokątne (kartezjańskie), sferyczne, cylindryczne, biegunowe, i inne, odpowiednio zdefiniowane.

Aby zdefiniować nowe współrzędne krzywoliniowe w danej przestrzeni euklidesowej wystarczy np. podać funkcje (tzw. wzory transformacyjne) na przejście do tych współrzędnych od współrzędnych kartezjańskich lub odwrotnie. Wymaga się przy tym, aby:

(1) współrzędnym kartezjańskim punktów przestrzeni odpowiadały unikatowe wartości współrzędnych krzywoliniowych i vive versa – dlatego wzory transformacyjne muszą być opisane funkcjami wzajemnie jednoznacznym i w zadanej dziedzinie, która jest w ogólności podzbiorem przestrzeni, na której wprowadza się współrzędne krzywoliniowe (bowiem nie zawsze jest możliwe wprowadzenie funkcji wzajemnie jednoznacznej dla całej przestrzeni euklidesowej – patrz np. współrzędne sferyczne)

(2) ponadto zazwyczaj wymaga się, by funkcje te były różniczkowalne dostateczną ilość razy (dzięki temu możliwe jest zdefiniowanie bogatszej struktury, np. wprowadzenie lokalnych baz wektorów w każdym punkcie dziedziny, co pozwala na definiowanie pól tensorowych i wykonywanie na nich operacji różniczkowania i całkowania).

Nazwa „współrzędne krzywoliniowe” została wprowadzona przez francuskiego matematyka Gabriela Lamé. Formalizm współrzędnych krzywoliniowych został uogólniony na przestrzenie nieeuklidesowe, m.in. przez Riemanna.

W artykule tym zagadnienie współrzędnych krzywoliniowych omówiono na przykładzie przestrzeni 3-wymiarowej, która jest dobrym modelem przestrzeni fizycznej (podobnie omawia to np. [1]). Zaletą takiego podejścia jest, że podane w nim pojęcia i metody obliczeniowe w sposób naturalny uogólniają się na przestrzenie euklidesowe dowolnego wymiaru. Nieznaczne zaś rozszerzenie formalizmu poprzez dopuszczenie dowolnej postaci tensora metrycznego pozwala łatwo przejść do opisu geometrii nieeuklidesowych.

Spis treści

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Układy współrzędnych krzywoliniowych znajdują liczne zastosowania. Np. w fizyce

  • w teoriach pól fizycznych (skalarnych, wektorowych, tensorowych); pojawiające się w analizie pól wielkości geometryczne takie jak gradient, dywergencja, rotacja, laplasjan itp. wyraża się we współrzędnych krzywoliniowych, wychodząc od definicji tych wielkości we współrzędnych kartezjańskich i korzystając ze wzorów transformacyjnych. Otrzymanym wyrażeniom nadaje się postać uniwersalną, obowiązującą w dowolnym układzie krzywoliniowym.
  • w mechanice klasycznej i w mechanice kwantowej w rozwiązaniu zagadnień ruchu ciał poddanych działaniu sił centralnych użycie układu krzywoliniowego upraszcza opis (np. opis ruch planet wokół gwiazdy centralnej czy ruch elektronu wokół jądra atomu – model atomu Bohra w układzie sferycznym).
  • w ogólnej teorii względności – użycie współrzędnych krzywoliniowych jest niezbędne, gdyż efektem działania pól grawitacyjnych jest zakrzywienie czasoprzestrzeni – nie da się ściśle opisać ani pól grawitacyjnych ani trajektorii ciał poruszających się w tych polach za pomocą współrzędnych prostokątnych; np. ciała w polach grawitacyjnych poruszają się po liniach geodezyjnych, które są inne niż proste euklidesowe.

Współrzędne krzywoliniowe w przestrzeni euklidesowej 3D[edytuj | edytuj kod]

(1) Niech w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej z wprowadzonym w niej układem ortokartezjańskim będzie dany punkt należący do pewnego podzbioru przestrzeni i opisany wektorem wodzącym zależnym od trzech parametrów tj.

gdzie: – wersory wybranej bazy układu współrzędnych kartezjańskich oraz

przy czym funkcje są klasy tj. mają pierwsze pochodne cząstkowe ciągłe.

(2) Definicja: Parametry nazywamy współrzędnymi krzywoliniowymi punktu jeżeli istnieje wzajemnie jednoznaczna zależność między nimi a współrzędnymi kartezjańskimi punktu przy czym wymaga się, by poniższy jakobian był różny od zera dla punktów gdzie – zbiór, na jakim chce się wprowadzić współrzędne krzywoliniowe, tj.[2]

Warunek niezerowania się jakobianu oznacza, że w każdym punkcie rozważanego obszaru będzie można wprowadzić 3 osie lokalnego układu współrzędnych, styczne do linii współrzędnych i parami nierównoległe (por. rys. 2).

Rys. 2. Powierzchnie współrzędnych, krzywe współrzędnych, osie współrzędnych dowolnego układu współrzędnych krzywoliniowych.

(3) Warunek równoważny: Jakobian transformacji odwrotnej o składowych musi być różny od zera dla punktów gdzie obraz zbioru w transformacji dokonującej przejścia od współrzędnych krzywoliniowych na kartezjańskie.

(4) Definicja: Mówi się, że funkcje wprowadzają w przestrzeni krzywoliniowy układ współrzędnych.

(5) Definicja: Krzywe współrzędnych. Siatka współrzędnych krzywoliniowych

a). Ustalając dwie z nowych współrzędnych, a zmieniając pozostałą współrzędną otrzymuje się krzywą w przestrzeni, opisaną parametrycznie za pomocą zmieniającej się współrzędnej, np.

przedstawia krzywą współrzędnych przy ustalonych wartościach współrzędnych oraz

b). Zmieniając wartości współrzędnych otrzymuje się różne linie współrzędnych współrzędnej

c). Postępując podobnie dla pozostałych współrzędnych, uzyskuje się linie siatki współrzędnych krzywoliniowych.

d). Przez każdy punkt przechodzą trzy przecinające się wzajemnie linie współrzędnych

Przykład: Współrzędne sferyczne [edytuj | edytuj kod]

Rys. 3. Powierzchnie współrzędnych, krzywe współrzędnych i osie współrzędnych dla współrzędnych sferycznych. Powierzchnie: r – sfery, θ – stożki, φ – półpłaszczyzny. Krzywe: r – proste idące promieniście, θ – pionowe półokręgi, φ – poziome okręgi. Osie: r – proste idące promieniście, θ – styczne do pionowych półokręgów, φ – styczne do poziomych okręgów.

(1) Współrzędne sferyczne są zdefiniowane przez następujące funkcje współrzędnych kartezjańskich

przy czym:

(2) Konwersję ze współrzędnych sferycznych na współrzędne kartezjańskie określają wzory odwrotne:

(3) Jakobian przejścia

.

W punktach, gdzie jakobian jest różny od zera można wprowadzić lokalne układy wektorów bazowych, styczne do linii współrzędnych (por. rys. 4).

Współrzędne kontrawariantne i kowariantne[edytuj | edytuj kod]

Rys. 4. Wektor v rozłożony w dwóch bazach: (1) baza e1, e2, e3 (żółta, z lewej) wektorów stycznych do krzywych współrzędnych (czarne) (2) kobaza e1, e2, e3 (niebieska, z prawej) wektorów prostopadłych do powierzchni współrzędnych (szare). Wektory bazy i kobazy nie są do siebie równoległe, chyba że współrzędne (q1, q2, q3) są ortogonalne.

Mając zadany układ współrzędnych krzywoliniowych, można zdefiniować w każdym punkcie przestrzeni lokalną bazę wektorów, przy czym można to zrobić na dwa naturalne sposoby

  1. wektory bazy są styczne do krzywych współrzędnych, przechodzących przez dany punkt – współrzędne wektorów opisanych w tej bazie nazywa się współrzędnymi kontrawariantnymi,
  2. wektory bazy (zwanej kobazą lub bazą dualną) są normalne do płaszczyzn współrzędnych, przechodzących przez dany punkt – współrzędne wektorów opisanych w kobazie nazywa się współrzędnymi kowariantnymi.

W układzie współrzędnych kartezjańskich obie bazy są identyczne. Jednak w ogólności tak nie jest. W związku z tym, aby odróżnić współrzędne kontrawariantne od kowariantnych stosuje się umowę, iż

  1. współrzędnym kontrawariantnym przypisuje się wskaźniki górne,
  2. współrzędnym kowariantnym przypisuje się wskaźniki dolne.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

(1) Wektory bazy obliczone w danym punkcie przestrzeni rozpinają tzw. przestrzeń styczną do przestrzeni w tym punkcie. Np. przestrzeń styczna do sfery jest płaszczyzną styczną do niej w danym punkcie. Wraz ze zmianą punktu na sferze zmienia się jej przestrzeń styczna.

(2) Zbiór wszystkich przestrzeni stycznych do danej przestrzeni tworzy tzw. wiązkę styczną.

(3) Zbiór wektorów kobazy nazywa się też bazą dualną.

(4) Kobaza (baza dualna) obliczona w danym punkcie przestrzeni rozpina tzw. przestrzeń kostyczną do przestrzeni w tym punkcie.

(5) Zbiór wszystkich przestrzeni kostycznych do danej przestrzeni tworzy tzw. wiązkę kostyczną.

(6) Współrzędne nazywa się ortogonalnymi, jeżeli linie współrzędnych przecinają się pod kątami prostymi. Np. współrzędne sferyczne, walcowe, biegunowe są ortogonalne.

Twierdzenie o ortogonalności[edytuj | edytuj kod]

Tw. Wektory bazy (i kobazy) współrzędnych ortogonalnych są ortogonalne. W takim wypadku wektory bazy i kobazy są parami równoległe do siebie.

Znaczenie bazy i kobazy[edytuj | edytuj kod]

(1) Obliczanie bazy: Uniwersalna procedura pozwala obliczać wektory bazy i kobazy dla dowolnego układu współrzędnych krzywoliniowych (patrz niżej).

(2) Wybór bazy pozwala wykonywać w niej obliczenia, np.

  • dowolne pole wektorowe może być rozłożone na składowe poprzez rzutowanie na wektory bazy – wtedy pole to ma współrzędne kontrawariantne lub poprzez rzutowanie na wektory kobazy – wtedy pole ma współrzędne kowariantne
  • współrzędne pola są zazwyczaj funkcjami różniczkowalnymi (zależnymi od punktów przestrzeni) – dzięki temu możliwe jest wykonywanie obliczeń, np. obliczanie zmian pola w zadanych warunkach, korzystając z równań pola (np. równań Maxwella, równań Einsteina).

Baza wektorów kontrawariantnych[edytuj | edytuj kod]

Obliczanie bazy wektorów kontrawariantnych[edytuj | edytuj kod]

(1) W każdym punkcie rozpatrywanego obszaru można zdefiniować trzy wektory bazowe styczne do krzywych o ustalonej wartości dwóch nowych współrzędnych

gdzie:

– wektory ortonormalne układu współrzędnych kartezjańskich.

(2) Z powyższych wzorów widać, że:

Baza układu kartezjańskiego transformuje się w bazę układu krzywoliniowego za pomocą macierzy transformacji

Elementami tej macierzy są pochodne współrzędnych kartezjańskich przez współrzędne krzywoliniowe, obliczone w danym punkcie przestrzeni. Macierze transformacji obliczone w różnych punktach przestrzeni będą więc na ogół różne elementy.

Macierz transformacji ma istotne znaczenie w określaniu własności transformacyjnych obiektów geometrycznych (wektorów, ogólnie: tensorów), określonych w danym punkcie przestrzeni.

(3) Niezerowanie się jakobianu gwarantuje, że wektory są nierównoległe do siebie. W skrócie wektory te można zapisać jednym wyrażeniem

lub stosując konwencję sumacyjną Einsteina

gdzie sumuje się po powtarzającym się wskaźniku przyjmując

(4) Nieznikanie jakobianu w każdym punkcie gwarantuje też, że istnieje wzór odwrotny

gdzie sumuje się po powtarzającym się wskaźniku przyjmując

(5) Macierz jest odwrotna do macierzy co oznacza, że słuszna jest zależność

– sumujemy tu po wskaźniku

(6) Podobnie, słuszna jest zależność odwrotna

– sumujemy tu po wskaźniku

Uwaga:

Wektory bazy są styczne do linii współrzędnych – wektory te nie są jednak w ogólności ortogonalne, jeśli linie współrzędnych w danym punkcie nie przecinają się pod kątami prostymi. Ponadto wektory te nie są unormowane do co więcej – ich długość może zmieniać się ze zmianą położenia w przestrzeni. Spośród wielu baz wygodne są bazy ortogonalne, gdyż łatwiej wykonywać w nich obliczenia.

Normowanie wektorów bazy[edytuj | edytuj kod]

Wektory bazy łatwo unormować do po prostu dzieli się wektory przez ich długość, którą oblicza się jako pierwiastek z iloczynu skalarnego wektora przez siebie:

,
,
.
Powyższe współczynniki naszą nazwę współczynników Lamego.

Unormowane wektory bazy mają postać:

.

Przykład: Baza ortonormalna wektorów kontrawariantnych[edytuj | edytuj kod]

Współrzędne sferyczne[edytuj | edytuj kod]

(1) Współrzędne kartezjańskie są wyrażone przez współrzędne sferyczne wzorami

,
,
.

(2) Obliczamy wektory bazowe:

,
,
.

(3) Wektory te są ortogonalne, gdyż zerują się ich iloczyny skalarne

.

– co łatwo policzyć, mnożąc wektory przez siebie.

(4) Obliczamy długości wektorów czyli współczynniki Lamego

,
,

(5) Normujemy wektory do dzieląc je przez ich długości

,
,
.

Powyższe wektory tworzą bazę ortonormalną układu współrzędnych sferycznych. Widać, że współrzędne tych wektorów zależą od punktu w którym wektory te tworzą bazę – styczną do linie współrzędnych sferycznych.

(6) Skrętność układu wektorów bazy

Można sprawdzić, że mnożąc wektorowo wektor przez wektor otrzyma się wektor tzn.

– oznacza to, że wektory te ustawione w kolejności tworzą bazę prawoskrętną.

Baza wektorów kowariantnych[edytuj | edytuj kod]

Powierzchnie współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

a). Ustalając jedną z nowych współrzędnych, a zmieniając dwie pozostałe współrzędne, otrzymuje się powierzchnię w przestrzeni opisaną parametrycznie za pomocą zmieniających się współrzędnych, np.

przedstawia powierzchnię współrzędnych przy ustalonych wartościach współrzędnej

b). Zmieniając wartość współrzędnej otrzymuje się różne powierzchnie współrzędnych

c). Postępując podobnie dla pozostałych współrzędnych, uzyskuje się powierzchnie współrzędnych krzywoliniowych.

d). Przez każdy punkt przechodzą trzy przecinające się wzajemnie powierzchnie współrzędnych

Obliczanie bazy wektorów kowariantnych[edytuj | edytuj kod]

W każdym punkcie przestrzeni można zdefiniować trzy wektory bazowe (zwane kobazą) prostopadłe do powierzchni o ustalonej wartości jednej z nowych współrzędnych; wektory te oblicza się jako gradienty nowych współrzędnych

,
,
,

gdzie:

– wektory ortonormalne układu współrzędnych kartezjańskich.

Uwaga 1: Wektory kobazy można formalnie otrzymać z wektorów bazy przez zamianę licznika z mianownikiem we wzorach, np. z otrzyma się

.

Uwaga 2: Z powyższej własności wynika, że długości wektorów bazy i kobazy są liczbami wzajemnie odwrotnymi. Innymi słowy: współczynniki Lamego dla wektorów bazy są odwrotnościami współczynników dla wektorów kobazy

,
,
.
Powyższe współczynniki naszą nazwę współczynników Lamego dla wektorów kobazy

Uwaga 3:

Wektory kobazy są prostopadłe do powierzchni współrzędnych – wektory te nie są jednak w ogólności ortogonalne, jeśli powierzchnie współrzędnych w danym punkcie nie przecinają się pod kątami prostymi. Ponadto wektory te nie są unormowane do co więcej – ich długość może zmieniać się ze zmianą położenia w przestrzeni.

Przykład: Baza ortonormalna wektorów kowariantnych[edytuj | edytuj kod]

Współrzędne sferyczne[edytuj | edytuj kod]

(1) Współrzędne sferyczne są wyrażone przez współrzędne kartezjańskie

,
,
.

(2) Obliczamy wektory kobazy:

,
,
.

(3) Wektory te są ortogonalne, gdyż zerują się ich iloczyny skalarne

– łatwo to policzyć.

(4) Obliczamy długości wektorów czyli współczynniki Lamego

Porównując współczynniki Lamego dla bazy ze współczynnikami dla kobazy, widać, że są one parami liczbami wzajemnie odwrotnymi, tj.

(5) Normujemy wektory do dzieląc je przez ich długości

,
,

Powyższe wektory tworzą kobazę ortonormalną układu współrzędnych sferycznych. Widać, że współrzędne tych wektorów zależą od punktu w którym wektory te oblicza się.

(6) Porównując wektory kobazy ortonormalnej z wektorami bazy ortonormalnej widać, że są one parami identyczne. Oznacza to, że wektory nieunormowane oraz są parami do siebie równoległe.

Jest to przejawem ogólnej własności: wektory bazy i kobazy dla współrzędnych krzywoliniowych ortogonalnych są parami równoległe.

Tensor metryczny[edytuj | edytuj kod]

Niezmiennik infinitezymalnego przemieszczenia[edytuj | edytuj kod]

Wyrażając w bazie układu współrzędnych wektor infinitezymalnego przemieszczenia (tj. ), otrzyma się wielkość skalarną

Można pokazać, że powyższa wielkość jest niezmiennikiem, co jest zgodne z tym, iż iloczyn skalarny wektorów jest wielkością geometryczną, niezależną od bazy, w której wektory się wyraża.

Iloczyny skalarne wektorów bazy mają istotne znaczenie – tworzą tensor metryczny (kowariantny).

Definicja tensora metrycznego[edytuj | edytuj kod]

1) Tensorem metrycznym kowariantnym nazywa się tensor utworzony z iloczynów skalarnych wektorów bazy, tj.

2) Tensorem metrycznym kontrawariantnym nazywa się tensor utworzony z iloczynów skalarnych wektorów kobazy, tj.

3) Tensorem metrycznym mieszanym nazywa się tensor

lub

Wyrażenie tensora metrycznego przez współrzędne krzywoliniowe[edytuj | edytuj kod]

Zapisując wektory w bazie kartezjańskiej przestrzeni euklidesowej, takiej że otrzyma się jawne postacie tensora metrycznego:

,
,
.

Ostatni wynik oznacza, że tensor metryczny mieszany jest reprezentowany przez macierz jednostkową.

Uwaga: Założenie, że iloczyny skalarne bazy mają postać jest charakterystyczne dla przestrzeni euklidesowych. Zadanie innej postaci tych fundamentalnych relacji definiuje inne możliwe geometrie (patrz dalej).

Wyznacznik tensora metrycznego[edytuj | edytuj kod]

Wyznacznik tensora metrycznego kowariantnego oznacza się symbolem

.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

(1) Układ kartezjański

Wektory bazy są ortonormalne – tensor metryczny ma postacie

W reprezentacji macierzowej mamy

oraz

(2) Układ sferyczny

A. Elementy tensora metrycznego kowariantnego otrzyma się, licząc iloczyny skalarne wektorów bazy (postacie wektorów bazy układu sferycznego – patrz wyżej), tj.

W reprezentacji macierzowej mamy

.

Wyznacznik tensora:

B. Elementy tensora metrycznego kontrawariantnego otrzyma się, licząc iloczyny skalarne wektorów kobazy (postacie wektorów kobazy układu sferycznego – patrz wyżej), tj.

itd.

W reprezentacji macierzowej otrzyma się

.

Wyznacznik tensora:

C. Z powyższego widać, że

Wynika stąd, że iloczyn tensorów oraz daje macierz jednostkową. Tensory kowariantny i kontrawariantny są więc reprezentowane przez macierze wzajemnie odwrotne, tj.

D. Elementy tensora metrycznego mieszanego otrzyma się, licząc iloczyny skalarne wektorów bazy i kobazy, co daje

Tensor metryczny mieszany jest więc w reprezentacji macierzowej macierzą jednostkową

Podnoszenie i opuszczanie wskaźników tensorów[edytuj | edytuj kod]

Tensor metryczny pozwala łatwo podnosić i opuszczać wskaźniki tensorów, np.

Pochodna pola wektorowego. Pochodna kowariantna[edytuj | edytuj kod]

Pochodna w układzie kartezjańskim[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że zadane jest w przestrzeni pole wektorowe

tj.

i rozważmy zagadnienie obliczania pochodnej cząstkowej tego pola względem jednej ze współrzędnych przestrzennych kartezjańskich

Jeżeli pole jest wyrażone w układzie kartezjańskim, to pochodna ta jest wektorem, którego składowe są pochodnymi cząstkowymi współrzędnych pola po współrzędnych kartezjańskich, tj.

Dziewięć wielkości

tworzy tensor 2-go rzędu kontrawariantno-kowariantny, który można przedstawić w postaci macierzy

Pochodna w układzie krzywoliniowym[edytuj | edytuj kod]

W obliczaniach pochodnej pola wektorowego w układzie krzywoliniowym należy uwzględnić fakt, że podczas niewielkiego przesunięcia wektora zmieniają się jego współrzędne na skutek zarówno zmian pola, jak i na skutek zmiany lokalnego układu współrzędnych (który jest „przyczepiony” w nieco innym punkcie przecięcia krzywych współrzędnych). W wyniku tego pochodna funkcji wektorowej we współrzędnych krzywoliniowych wyraża się nieco innym wzorem niż w układzie kartezjańskim.

(1) Mianowicie, licząc pochodną mamy:

(2) Ponieważ to

Wektor wyraża się za pomocą wektorów zależnością

Stąd otrzyma się

gdzie wprowadziliśmy symbol – tzw. symbol Christoffela II rodzaju.

(3) Wstawiając powyższy wynik do wzoru z punktu (1), otrzyma się

Zmieniając nazwy indeksów, ostatecznie otrzyma się

Wyrażenie w nawiasie nazywa się pochodną kowariantną współrzędnej wektora po współrzędnej tj.

Uwaga: Znak średnika wraz z indeksem umieszczony u dołu oznacza pochodną kowariantną po współrzędnej przestrzennej o tym indeksie.

(4) Analogiczny rozumowania prowadzi do wyrażenia na pochodną kowariantną wektora kowariantnego

(5) Pochodne kowariantne wektorów są tensorami 2-go rzędu. W przestrzeni 3-wymiarowej mają 9 składowych. W układzie kartezjański symbole Christoffela zerują się – pochodne kowariantne stają się równe pochodnym cząstkowym.

(6) Wektor infinitezymalnej zmiany pola wektorowego w wyniku infinitezymalnego przemieszczenia ma współrzędne kontra- i kowariantne w postaci:

oraz

Element różniczkowy objętości[edytuj | edytuj kod]

W układzie kartezjańskim element różniczkowy objętości ma postać

Przechodząc do dowolnego układu współrzędnych krzywoliniowych różniczkowy element objętości nie zmieni się, jeżeli pomnoży się go przez moduł jakobianu, tj.

gdzie:

macierz Jacobiego transformacji współrzędnych.

Macierz Jacobiego można wyrazić za pomocą elementów tensora metrycznego: kwadrat jakobianu jest równy wyznacznikowi tensora metrycznego, tj.

Stąd element objętości w dowolnym układzie współrzędnych ma postać

Przykład: Różniczkowy element objętości[edytuj | edytuj kod]

W układzie współrzędnych sferycznych mamy Stąd otrzymamy:

Zasady transformacji współrzędnych obiektów geometrycznych[edytuj | edytuj kod]

Transformacja różniczek współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

(1) Załóżmy, że nieznacznie zmieniamy położenie w przestrzeni z położenia do położenia Wielkości nazywa się różniczkami współrzędnych kartezjańskich.

Jeżeli wektory oraz zapisze się we współrzędnych krzywoliniowych, to otrzymamy wektory oraz gdzie różniczki zmian współrzędnych krzywoliniowych. Różniczki te tworzą wektor infinitezymalnego przemieszczenia

(2) Związki między różniczkami oraz można znaleźć, obliczając różniczki zupełne współrzędnych wyrażonych przez współrzędne krzywoliniowe

lub w skrócie, stosując konwencję sumacyjną po powtarzającym się wskaźniku

Odwracając tę zależność, otrzyma się wzór na transformację różniczek współrzędnych kartezjańskich w różniczki współrzędnych krzywoliniowych

Oznacza to, że:

Różniczki współrzędnych kartezjańskich transformują się na różniczki współrzędnych krzywoliniowych za pomocą macierzy która jest odwrotna do macierzy transformacji wektorów bazy na wektory bazy
Wektory, które transformują się tak jak wektory infinitezymalnego przemieszczenia (lub inaczej mówiąc: jak różniczki współrzędnych) nazywa się wektorami kontrawariantnymi.
Nazwa kontra-warianty oznacza: przeciwny w sposobie transformacji niż wektory bazy.

Transformacja współrzędnych gradientu funkcji[edytuj | edytuj kod]

(1) Niech dana będzie funkcja skalarna współrzędnych Gradient funkcji skalarnej – to wektor, który we współrzędnych kartezjańskich dany jest wzorem

tzn. -te współrzędne kartezjańskie gradientu są równe pochodnym cząstkowym funkcji po zmiennej

(2) Współrzędne gradientu wyrażonego we współrzędnych krzywoliniowych.

Jeżeli zapisze się funkcję za pomocą współrzędnych krzywoliniowych, to obliczenie gradientu nie będzie wyrażać się takim samym wzorem jak wyżej. Np. pierwsza składowa gradientu zapisana za pomocą współrzędnych krzywoliniowych ma postać

i analogicznie pozostałe składowe; w skróconym zapisie mamy

co po odwróceniu daje

Oznacza to, że:

Współrzędne kartezjańskie gradientu transformują się na współrzędne krzywoliniowe gradientu za pomocą macierzy identycznej jak macierz transformacji wektorów bazy na wektory bazy
Wektory, które transformują się tak gradient nazywa się wektorami kontrawariantnymi.
Nazwa ko-warianty oznacza: zgodny w sposobie transformacji z wektorami bazy.

Uwaga:

Gradient funkcji skalarnej jest wektorem kowariantnym; zgodne z przyjętą konwencją możemy napisać

oraz

Oznacza to, że

Pochodne funkcji skalarnej po współrzędnych kartezjańskich lub dowolnych współrzędnych krzywoliniowych są współrzędnymi kowariantnymi pewnego wektora.

Definicja transformacyjna tensorów kowariantnych i kontrawariantnych[edytuj | edytuj kod]

Powyższe wzory na transformację różniczek współrzędnych i składowych gradientu funkcji określają dwa sposoby transformacji składowych dowolnych obiektów geometrycznych (skalarów, wektorów, tensorów wyższych rzędów) przy zmianie układu współrzędnych.

Definicja

(1) Składowymi kowariantnymi wektorów, tensorów 2-go rzędu itd. nazywa się te ich współrzędne, które transformują poprzez macierz tj. identyczną z macierzą transformacji bazy układu kartezjańskiego do bazy układu krzywoliniowego (mówi się, że składowe kowariantne transformują się współzmienniczo lub ko-wariantnie z wektorami bazy).

(2) Składowymi kontrawariantnymi wektorów, tensorów nazywa się te ich współrzędne, które transformują się poprzez macierz odwrotną (transformują się przeciwzmienniczo lub kontra-wariantnie).

Wektor położenia nie jest tensorem 1-go rzędu[edytuj | edytuj kod]

(1) W myśl powyższej definicji – zwanej definicją transformacyjną – wielkość nie jest wektorem, gdyż transformuje się w za pomocą funkcji a nie za pomocą macierzy czy macierzy odwrotnej.

(2) Wynika stąd, iż definicja transformacyjna eliminuje ze zbioru tensorów 1-go rzędu (zwanych wektorami) wielkości, które zależą od wyboru punktu początkowego układu współrzędnych. Wektorami są wielkości, których własności transformacyjne są określone lokalnie, w miejscu gdzie dany wektor jest przyczepiony.

Gradient we współrzędnych krzywoliniowych[edytuj | edytuj kod]

Wzór na gradient funkcji skalarnej [edytuj | edytuj kod]

Wychodząc z definicji gradientu, mamy

Po wyciągnięci tego samego czynnika przed nawias otrzymamy

przy czym ostatni wyraz jest wektorem kobazy

Czyli gradient wyrażony we współrzędnych krzywoliniowych ma postać:

Powyższa postać gradientu jest identyczna jak we współrzędnych kartezjańskich: jest to suma pochodnych funkcje skalarnej po współrzędnych mnożona przez wektor bazy tego układu. Podana metoda obliczania ma wiec charakter uniwersalny – dotyczy bowiem dowolnego układu współrzędnych.

Przy tym należy pamiętać, że wektory bazy nie są na ogół ani unormowane ani ortogonalne.

Przykład: Gradient we współrzędnych sferycznych[edytuj | edytuj kod]

Dla układu współrzędnych sferycznych mamy

Niech funkcja skalarna ma postać potencjału pola elektrostatycznego wytwarzanego przez ładunek punktowy, tj.

gdzie – stała liczba. Ponieważ funkcja nie zależy tu of to ostatnie dwa wyrazy zerują się. Otrzymamy więc:

Pochodna funkcji po r wynosi

zaś wektor

Stąd otrzymamy ostatecznie

Widać, że gradient pola skalarnego o symetrii sferycznej jest skierowany radialnie, wzdłuż wektorów Przedstawia on siłę natężenie pola elektrostatycznego.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenie riemannowskie i pseudoriemannowskie[edytuj | edytuj kod]

Formalizm opisany tu uogólnia się na:

(1) przestrzenie pseudoeklidesowe, jak przestrzeń Minkowskiego opisująca własności geometryczne 4-wymiarowej czasoprzestrzeni pojawiającej się w Einsteinowskiej szczególnej teorii względności, (2) rozmaitości różniczkowe, w tym:

Tensor metryczny przestrzeni pseudoeuklidesowych[edytuj | edytuj kod]

Składowe tensora metrycznego wyprowadzono (patrz wyżej) w oparciu o założenie, iż iloczyn skalarny wektorów w bazie kartezjańskiej ma postać Jest to słuszne dla przestrzeni euklidesowej.

W przestrzeniach pseudoeuklidesowych – do jakich należy np. 4-wymiarowa czasoprzestrzeń szczególnej i ogólnej teorii względności iloczyny skalarne wektorów bazy są zarówno dodatnie, jak i ujemne (ściślej mówiąc: w czasoprzestrzeni definiuje się iloczyny pseudoskalarne wektorów, które nie zawsze są liczbami nieujemnymi). Np. niezmiennik infinitezymalnego przemieszczenia ma w płaskiej czasoprzestrzeni postać

co oznacza, że tensor metryczny ma postać

Stąd wynika fundamentalne znaczenie elementu dla określenia własności geometrii w danej przestrzeni. Ponieważ

to na podstawie tensora metrycznego widać, że

ale

co oznacza, że długości wektorów bazowych w przestrzeni pseudoeuklidesowej są ujemne (!) (z tego względu, że tradycyjnie przez długość rozumie się wielkości nieujemne, mówi się tu raczej o pseudodługościach wektorów niż o długościach).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Pojęcia podstawowe

Inne

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Trajdos 1993 ↓, s. 314–320.
  2. Trajdos 1993 ↓, s. 315.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • L.D. Landau, E.M. Lifszyc: Teoria pola. Warszawa: PWN, 2009.
  • T. Trajdos: Matematyka część III. Warszawa: PWN, 1993. ISBN 83-204-1547-0.
  • P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: PWN, 1958.
  • J.L. Synge: Rachunek tensorowy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]