Współrzędne uogólnione

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Współrzędne uogólnione – są to niezależne od siebie wielkości które jednoznacznie opisują położenie układu w przestrzeni. Najczęściej przyjmują one postać przemieszczeń (linowych lub kątowych). Współrzędne uogólnione wykorzystywane są w mechanice klasycznej i mechanice kwantowej do przedstawienia położenia układu w uproszczony sposób.

Wyprowadzenie[edytuj]

Jeśli układ 3n współrzędnych kartezjańskich x1, x2, ... , x3n układu n cząstek zostanie poddany r więzom, w postaci:

i = f+1, ... , f+r
gdzie c jest stałą zależną tylko od wskaźnika i.
Należy w miejsce 3n współrzędnych kartezjańskich x1, x2, ... , x3n, wprowadzić nowe współrzędne q1, q2, ... , q3n, takie aby:

dla i = 1, ... , f
oraz:

dla: i = f+1, ... , 3n
Taka zamiana zmiennych powoduje, że współrzędne qf+1, ... , q3n w liczbie r są wielkościami stałymi, natomiast współrzędne q1, ... , qf są dowolnymi funkcjami starych współrzędnych.

Współrzędne q1, ... , qf nazywa się współrzędnymi uogólnionymi i należy przez nie rozumieć współrzędne wzajemnie niezależne od siebie, a których zespół zadaje jednoznaczność każdego położenia układu, zgodnie z więzami.

Z tej definicji wynika, że współrzędne kartezjańskie są funkcjami współrzędnych uogólnionych, natomiast ich postać jest taka, że równania więzów są spełnione tożsamościowo.

Bibliografia[edytuj]