Współrzędne uogólnione

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Współrzędne uogólnione – jest to układ współrzędnych, używany w mechanice klasycznej i mechanice kwantowej do przedstawienia innego układu współrzędnych, w uproszczony sposób.

Wyprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeśli układ 3n współrzędnych kartezjańskich x1, x2, ... , x3n układu n cząstek zostanie poddany r więzom, w postaci:
\varphi(x_1, x_2, ... , x_{3n}, t) = c_i
i = f+1, ... , f+r
gdzie c jest stałą zależną tylko od wskaźnika i.
Należy w miejsce 3n współrzędnych kartezjańskich x1, x2, ... , x3n, wprowadzić nowe współrzędne q1, q2, ... , q3n, takie aby:
q_i = q_i(x_1, x_2, ... , x_{3n}, t)
dla i = 1, ... , f
oraz:
q_i = \varphi_i (x_1, x_2, ... , x_{3n}, t) = c_i
dla: i = f+1, ... , 3n
Taka zamiana zmiennych powoduje, że współrzędne qf+1, ... , q3n w liczbie r są wielkościami stałymi, natomiast współrzędne q1, ... , qf są dowolnymi funkcjami starych współrzędnych.

Współrzędne q1, ... , qf nazywa się współrzędnymi uogólnionymi i należy przez nie rozumieć współrzędne wzajemnie niezależne od siebie, a których zespół zadaje jednoznaczność każdego położenia układu, zgodnie z więzami.

Z tej definicji wynika, że współrzędne kartezjańskie są funkcjami współrzędnych uogólnionych, natomiast ich postać jest taka, że równania więzów są spełnione tożsamościowo.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]