Współrzędne uogólnione

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Współrzędne uogólnione – niezależne od siebie wielkości, które jednoznacznie opisują położenie ciała lub układu ciał w przestrzeni. Wielkościami takimi mogą być współrzędne kartezjańskie – wtedy położenie każdego pojedynczego ciała jednoznacznie opisują trzy współrzędne . Można także stosować współrzędne walcowe , sferyczne (np. kąty określające odchylenia wahadła od pionu), jak również współrzędne równe odległości mierzonej wzdłuż zadanych krzywych od ustalonych punktów do miejsca, gdzie znajduje się dane ciało (por. przykład koralik na drucie), itp.

Współrzędne uogólnione najczęściej wprowadza się, jeżeli ciała układu poddane są działaniu więzów, ograniczających ich ruch. Np. do opisu położenia ciała zamocowanego do nierozciągliwej nici wystarczą 2 współrzędne zamiast 3. W ogólności, liczba współrzędnych niezbędnych do opisania położenia ciał poddanych więzom jest mniejsza niż liczba współrzędnych kartezjańskich, potrzebnych do opisu położenia ciał swobodnych (tj. ciał, których ruch nie jest ograniczony więzami).

Współrzędne uogólnione stosuje się zarówno w mechanice klasycznej jak i kwantowej.

Definicja współrzędnych uogólnionych[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie układ n cząstek w przestrzeni. Położenie cząstek w chwili można opisać za pomocą zespołu współrzędnych kartezjańskich . Jeżeli jednak ruch cząstek zostanie ograniczony za pomocą więzów, to liczba współrzędnych niezbędnych do opisania położenia układu zmniejszy się o .

Mianowicie, niech więzy będę opisane za pomocą równań:

  

Wtedy zamiast współrzędnych można wprowadzić nowych współrzędnych zadanych za pomocą niezależnych funkcji współrzędnych oraz czasu :

   

Współrzędne nazywa się współrzędnymi uogólnionymi. Określają one jednoznacznie położenie układu w chwili podlegającego działaniu więzów. Zespół współrzędnych uogólnionych oznacza się pojedynczym symbolem , tj.

   

Wielkość oznacza położenie układu w przestrzeni konfiguracyjnej, w której wprowadzono współrzędne uogólnione.

Definicja prędkości uogólnionych[edytuj | edytuj kod]

Współrzędne uogólnione – podobnie jak współrzędne kartezjańskie – w ogólności będą zmieniać się w czasie ruchu ciała. Ich pochodne po czasie nazywa się prędkościami uogólnionymi, tzn. wielkości

nazywa się prędkościami uogólnionymi.

Np. jeżeli wyrazi się współrzędne kartezjańskie za pomocą współrzędnych uogólnionych,

   

to obliczając pochodną zupełną powyższego wyrażenia względem czasu otrzyma się prędkości , które zależą od prędkości uogólnionych

   

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Współrzędna uogólniona s, równa odległości koralika od ustalonego punktu. (Siły działające na koralik: N – siła grawitacji, C – siła reakcji druta.)

Koralik na drucie[edytuj | edytuj kod]

Koralik ślizga się bez tarcia po drucie, tworzącym krzywą płaską, podlegając działaniu siły grawitacji. Problem polega na wyznaczeniu położenia koralika w chwili .

Opis ruchu we współrzędnych kartezjańskich[edytuj | edytuj kod]

Położenie koralika w chwili można opisać wyrażając wektor wodzący za pomocą współrzędnych kartezjańskich

Jeżeli krzywa, po której porusza się koralik, nie jest linią prostą, to zagadnienie rozwiązania ruchu koralika w ramach mechaniki Newtona wymagałoby uwzględnienia sił, zmieniających się w czasie – problem byłby w ogólnym wypadku bardzo złożony.

Opis ruchu we współrzędnych uogólnionych[edytuj | edytuj kod]

Opis ruchu można uprościć w ramach mechaniki Lagrange'a, której formalizm pozwala łatwo znaleźć równania ruchu, gdy dobierze się zamiast współrzędnych kartezjańskich współrzędne uogólnione "zgodne z więzami". W przypadku ruchu koralika wystarczy wyrazić jego położenie w zależności od jednej współrzędnej uogólnionej; jako taką współrzędną dogodnie jest wybrać np. odległości koralika od ustalonego punktu drutu, mierzoną wzdłuż drutu. Odległość jest współrzędną uogólnioną zgodną z więzami.

Ograniczenia nałożone na ruch koralika mogą być opisane za pomocą dwóch równań więzów

Mamy tu współrzędnych kartezjańskich, więzy oraz stopni swobody.

Jeżeli krzywa leży w płaszczyźnie , to współrzędna jest funkcją jedynie współrzędnych kartezjańskich :

Aby znaleźć tę funkcją wyraża się element łuku krzywej przez przyrosty

Z równania więzów wynika, że , co implikuje zależność ; podstawiając ostatnie wyrażenie do wzoru na otrzyma się zależność jedynie od

Odległość punktu od ustalonego punktu, np. wyrazi więc wzór:

Np. gdy krzywa ma kształt paraboli leżącej w płaszczyźnie , to mamy równania

gdzie – parametr paraboli.

Wtedy

oraz

Współrzędne uogólnione wahadła podwójnego – kąty odchylenia nici od pionu.

Obliczając powyższą całkę dla danej wartości otrzyma się jednoznaczną wartość współrzędnej uogólnionej . Widać stąd, że do opisania położenia ciała, którego ruch ograniczony jest do krzywej płaskiej, wystarczy tylko jedna współrzędna zamiast dwóch współrzędnych .

Analogiczny wniosek dotyczy poruszania się ciała po krzywej w przestrzeni 3D – tu zamiast trzech współrzędnych wystarczy także podanie jednej współrzędnej uogólnionej .

Wahadło podwójne[edytuj | edytuj kod]

Zamiast współrzędnych kartezjańskich określających położenia kulek można wprowadzić współrzędne uogólnione – kąty określające odchylenia nici od pionu.

Energia kinetyczna we współrzędnych uogólnionych[edytuj | edytuj kod]

Energię kinetyczną układu cząstek przedstawia wzór[1]

gdzie · oznacza iloczyn skalarny, – pochodna wektora położenia -tej cząstki po czasie, – masa -tej cząstki.

Współrzędne kartezjańskie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli wektory wodzące cząstek wyrazi się przez współrzędne kartezjańskie,

,

to wektory prędkości cząstek będą zależeć jedynie od pochodnych współrzędnych po czasie

Ponieważ

to otrzyma się (zastępując oznaczenia współrzędnych przez )

Oznacza to, że energia kinetyczna układu, którego położenie jest zadane przez współrzędne kartezjańskie, zależy jedynie od prędkości cząstek, nie zależy zaś ani od współrzędnych, ani od czasu,

Współrzędne uogólnione zależne od czasu[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jednak wektory wodzące cząstek wyrazi się przez współrzędne uogólnione, zależne w ogólności od czasu,

,

to pochodne czasowe przyjmą postać

i wtedy otrzyma się[2]

co oznacza, że energia kinetyczna będzie zależeć od współrzędnych uogólnionych , prędkości uogólnionych i czasu – jeżeli więzy będą zależeć od czasu, czyli .

Współrzędne uogólnione niezależne od czasu[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jednak więzy będą stałe w czasie, to wszystkie pochodne cząstkowe po czasie będą zerować się – wtedy energia kinetyczna będzie funkcją współrzędnych uogólnionych, funkcją jednorodną kwadratową prędkości uogólnionych , niezależną jawnie od czasu, gdyż

Powyższe wyrażenie jest równoważne kwadratowi elementu liniowego trajektorii -tej cząstki

gdyż dzieląc powyższe wyrażenie przez otrzyma się kwadrat prędkość -tej cząstki . Dla więzów niezależnych od czasu wystarczy więc znać element liniowy trajektorii cząstki, aby obliczyć jej energię kinetyczną[3].

Wyrażenia na energię kinetyczną w różnych układach współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

Energia kinetyczna przyjmuje różne wyrażenia w zależności od układu współrzędnych. Dla układów niezależnych od czasu otrzyma się wyrażenia:

1) we współrzędnych kartezjańskich ()

2) we współrzędnych biegunowych ()

3) we współrzędnych cylindrycznych () ,

4) we współrzędne sferycznych ()

Powyższe przykłady pokazują, że jeżeli współrzędne uogólnione nie zależą jawnie od czasu, to energia kinetyczna jest funkcją funkcją jednorodną kwadratową (funkcją jednorodną stopnia 2) prędkości uogólnionych, np. – podobnie jak w przypadku współrzędnych kartezjańskich; jednakże energia kinetyczna zależy tu ponadto od współrzędnych uogólnionych, np. .

Pęd we współrzędnych uogólnionych[edytuj | edytuj kod]

We współrzędnych uogólnionych definiuje się tzw. pęd uogólniony sprzężony kanonicznie ze współrzędną uogólnioną , który oblicza się jako pochodną lagranżjanu po pochodnej czasowej tej współrzędnej

Jeżeli lagranżjan nie zależy od współrzędnej , to

i z równań Eulera–Lagrange'a wynika, że pochodna czasowa pędu uogólnionego będzie równa ,

a więc pęd uogólniony będzie stały (będzie stałą ruchu).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]