Współrzędne uogólnione

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Współrzędne uogólnione – to niezależne od siebie wielkości, które jednoznacznie opisują położenie układu fizycznego. Współrzędnymi uogólnionymi mogą być oprócz współrzędnych kartezjańskich także współrzędne walcowe, sferyczne, kątowe lub inne wspólrzędne.

Współrzędne uogólnione najczęściej wprowadza się, jeżeli układ poddany jest działaniu więzów, ograniczających jego ruch - wtedy ilość współrzędnych niezbędnych do opisania położenia układu jest mniejsza niż ilość współrzędnych kartezjańskich.

Współrzędne uogólnione stosuje się zarówno w mechanice klasycznej jak i kwantowej.

Definicja[edytuj]

Niech dany będzie układ n cząstek w przestrzeni. Położenie cząstek w chwili t można opisać za pomocą zespołu 3n współrzędnych kartezjańskich x1, x2, ... , x3n. Jeżeli jednak ruch cząstek zostanie ograniczony za pomocą r więzów, to ilość współrzędnych niezbędnych do opisania położenia układu zmniejszy się o r.

Mianowicie, niech więzy będę opisane za pomocą r równań:

\varphi_i (x_1, x_2, ... , x_{3n}, t) = 0,     i = 1, ... , r.

Wtedy zamiast współrzędnych x1, x2, ... , x3n można wprowadzić f=3n-r nowych współrzędnych q1, q2, ... , qf, zadanych za pomocą f niezależnych funkcji współrzędnych xi oraz czasu t:

q_i = q_i(x_1, x_2, ... , x_{3n}, t),    i = 1, ... , f.

Współrzędne q1, ... , qf nazywamy współrzędnymi uogólnionymi. Określają one jednoznacznie położenie układu w chwili t podlegającego działaniu r więzów.

Przykłady[edytuj]

Współrzędna uogólniona s, równą odległości koralika od ustalonego punktu. (Siły działające na koralik: N - siła grawitacji, C - siła reakcji druta.)

Koralik na drucie[edytuj]

Jeżeli koralik ślizga się po drucie w płaszczyźnie 2D, to ograniczenia nałożone na jego ruch mogą być opisane za pomocą funkcji

f(x,y) = 0 \,

Powyższe równanie jest równaniem więzów.

Współrzędne kartezjańskie x(t), y(t) opisują położenie koralika w chwili t na drucie. Można też wyrazić je za pomocą odległości s koralika od ustalonego punktu, mierzonej wzdłuż druta:

s = s(x,y,t).

Współrzędne uogólnione wahadła podwójnego - kąty \theta_1, \theta_2 odchylenia nici od pionu.

Odległość s jest wtedy współrzędną uogólnioną.

Wahadło podwójne[edytuj]

Zamiast współrzędnych kartezjańskich x_1, y_1, x_2, y_2 określających położenia kulek można wprowadzić współrzędne uogólnione - kąty \theta_1, \theta_2 określające odchylenia nici od pionu.

Bibliografia[edytuj]