Układ współrzędnych walcowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Współrzędne walcowe)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Walcowy układ współrzędnych

Walcowy układ współrzędnych (cylindryczny układ współrzędnych) – układ współrzędnych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Posługiwanie się układem cylindrycznym jest korzystne gdy trajektoria ruchu ma osiową (cylindryczną) symetrię[1].

Układ cylindryczny tworzony jest przez trzy wersory , , , które zmieniają swoją orientację w przestrzeni w zależności od ruchu punktu [2]. Każdy punkt przestrzeni zapisuje się w postaci trzech tzw. współrzędnych cylindrycznych , gdzie poszczególne składowe wyrażają się następująco[3]:

— promień cylindra przeprowadzonego przez punkt [3],
— kąt między osią układu nieruchomego a płaszczyzną, w której znajduje się wektor wodzący i kierunek [3],
— wysokość (ta sama współrzędna jak dla układu nieruchomego)[3].

Można wyprowadzić wzór: [3].

Określenie prędkości następuje poprzez obliczenie pochodnej : [3] (gdzie oznacza pierwszą pochodną względem czasu[2]). Wersor nie zmienia swojej orientacji i dlatego , co pozwala na pominięcie go w powyższym równaniu[3]. Wersor należy wyrazić poprzez niezmienne w czasie wersory i układu nieruchomego[3].

[3]

[3].

Zatem:

[3],

[3].

Stąd prędkość:

[3],

a jej długość:

[3].

Przyspieszenie:

[3]

[1].

Przykład zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Za pomocą współrzędnych cylindrycznych można bardzo łatwo opisać na przykład jednostajny ruch po okręgu[1]:

[1],

[1],

[1]

oraz:

[1],

[1],

[1].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c d e f g h i Mechanika klasyczna. Układy współrzędnych - kinematyka. [w:] Lucjan Jacak, Krótki wykład z fizyki ogólnej, Wrocław: Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, 1994, s. 10, ISBN 83-7085-222-X.
  2. a b Mechanika klasyczna. Układy współrzędnych - kinematyka. [w:] Lucjan Jacak, Krótki wykład z fizyki ogólnej, Wrocław: Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, 1994, s. 8, ISBN 83-7085-222-X.
  3. a b c d e f g h i j k l m n o Mechanika klasyczna. Układy współrzędnych - kinematyka. [w:] Lucjan Jacak, Krótki wykład z fizyki ogólnej, Wrocław: Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, 1994, s. 9, ISBN 83-7085-222-X.