Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Wykładnicza nierówność Czebyszewa – nierówność używana w rachunku prawdopodobieństwa , która wynika bezpośrednio z Nierówności Czebyszewa .
Dla każdej zmiennej losowej
X
{\displaystyle X}
wartości oczekiwanej
E
(
X
)
,
{\displaystyle E(X),}
E
(
e
p
X
)
<
∞
{\displaystyle E(e^{pX})<\infty }
p
>
0
,
{\displaystyle p>0,}
λ
∈
[
0
,
p
]
{\displaystyle \lambda \in [0,p]}
P
(
X
⩾
ε
)
⩽
E
(
e
λ
X
)
e
λ
ε
{\displaystyle P(X\geqslant \varepsilon )\leqslant {\frac {E(e^{\lambda X})}{e^{\lambda \varepsilon }}}}
dla każdego
ε
>
0.
{\displaystyle \varepsilon >0.}
Wykładnicza nierówność Czebyszewa wynika bezpośrednio z podstawienia w nierówności Czebyszewa
e
λ
X
{\displaystyle e^{\lambda X}}
X
{\displaystyle X}
e
λ
ε
{\displaystyle e^{\lambda \varepsilon }}
ε
,
{\displaystyle \varepsilon ,}
Jest tak, ponieważ
e
λ
X
⩾
e
λ
ε
⟺
X
⩾
ε
.
{\displaystyle e^{\lambda X}\geqslant e^{\lambda \varepsilon }\iff X\geqslant \varepsilon .}
![{\displaystyle \lambda \in [0,p]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae0fe4a82b15a20c2831b5f0c2f3404a3cda494)
