Wymiar (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wymiar – minimalna liczba niezależnych parametrów potrzebnych do opisania jakiegoś zbioru. Zatem jest to liczba przypisana zbiorowi lub przestrzeni w taki sposób, by punkt miał w.=0, prosta w.=1, płaszczyzna w.=2 itd.

Wstęp[edytuj]

W przypadku (wielowymiarowej) przestrzeni euklidesowej, wymiarem przestrzeni jest maksymalna liczba wzajemnie prostopadłych prostych, przechodzących przez dany punkt.

Pojęcie wymiaru jest uogólnieniem naturalnych intuicji, że prosta jest obiektem jedno-, płaszczyzna dwu-, a zwykła przestrzeń - trójwymiarowym. W zależności od sposobu dokonywania uogólnień otrzymujemy różne definicje wymiaru, jednak szereg z nich zgadza się dla przestrzeni euklidesowych.

Wymiar przestrzeni liniowej[edytuj]

W algebrze liniowej, wymiar przestrzeni liniowej, to moc dowolnej bazy liniowej tej przestrzeni.

Wymiar liniowej przestrzeni euklidesowej wynosi Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): n ; w przestrzeni dwuwymiarowej do określenia położenia dowolnego punktu potrzebne są dwie współrzędne np. ; w układzie trójwymiarowym - trzy współrzędne, np.

Ponieważ przestrzeń Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \mathbb{R}^3 dość dobrze opisuje świat bezpośrednio dostępny naszym zmysłom, można na co dzień mówić, że żyjemy w przestrzeni trójwymiarowej.

W przypadku przestrzeni nad ciałem liczb zespolonych zachodzi naturalne utożsamienie:

Widzimy, że przestrzeń, o wymiarze liniowym zespolonym Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): n , ma wymiar rzeczywisty Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): 2 \cdot n . Dla przykładu, 4-wymiarowa przestrzeń euklidesowa może być traktowana jako 2-wymiarowa zespolona, a płaszczyzna euklidesowa (czyli przestrzeń 2-wymiarowa nad ciałem liczb rzeczywistych) może być traktowana jako prosta zespolona (czyli przestrzeń 1-wymiarowa nad ciałem liczb zespolonych).

Wymiar przestrzeni Hilberta[edytuj]

Występująca w analizie funkcjonalnej (i nie tylko) przestrzeń Hilberta jest przestrzenią liniową, więc stosuje się do niej ogólne pojęcie wymiaru przestrzeni liniowej (zdefiniowane w algebrze liniowej). W praktyce, tego wymiaru liniowego w kontekście przestrzeni Hilberta nigdy się nie używa. W analizie funkcjonalnej wszystkie najważniejsze nieskończenie wymiarowe przestrzenie liniowe mają ten sam wymiar liniowy (w opisanym sensie algebry liniowej). Więc taki wymiar jest w ich przypadku na ogół bez znaczenia.

Gdy w matematyce mówimy o wymiarze przestrzeni Hilberta, to mamy na myśli najmniejszą moc zbioru niezerowych, wzajemnie prostopadłych elementów tej przestrzeni. Na przykład, wymiar Hilberta ośrodkowej przestrzeni Hilberta jest albo skończony albo Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \aleph _{0} .

Tak zdefiniowany wymiar, gdy jest skończony, pokrywa się z wymiarem w sensie algebry liniowej; gdy jest równy Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \aleph _{0} , to jest mniejszy od wymiaru z algebry liniowej.

Zobacz: przestrzeń Hilberta

Mały wymiar indukcyjny Mengera-Urysohna (topologia)[edytuj]

Definicja[edytuj]

Niech Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://wikimedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): X będzie przestrzenią regularną. Mały wymiar indukcyjny przestrzeni oznaczany symbolem . Mały wymiar indukcyjny jest liczbą całkowitą nie mniejszą od -1 lub nieskończonością. Określa się go za pomocą indukcyjnej definicji, wyrażonej w poniższych czterech warunkach:

(MU1)  Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \mathrm{ind}X = -1 \iff X = \varnothing

(MU2)    (dla  ),  jeśli dla każdego punktu Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \,x \in X oraz jego dowolnego otoczenia istnieje zbiór otwarty taki, że  oraz 

(MU3)  Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \,\mathrm{ind}X = n ,  gdy oraz nie zachodzi

(MU4) Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \mathrm{ind}X = \infty , gdy dla żadnego   nie jest prawdą, że .

Uwaga  Od zbioru można w warunku (MU2) wymagać, by jego domknięcie było zawarte w zbiorze Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): V (definicja pozostanie równoważna).

Historia[edytuj]

Mały wymiar indukcyjny został zdefiniowany niezależnie przez Pawła Urysohna w 1922 roku oraz Karla Mengera w 1923 roku.

Duży wymiar indukcyjny Borela-Čecha (topologia)[edytuj]

Otrzymuje się go przez zastąpienie w definicji małego wymiaru indukcyjnego punktu przez zbiór domknięty:

Definicja[edytuj]

Niech Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): X będzie przestrzenią normalną. Duży wymiar indukcyjny przestrzeni oznaczany symbolem Duży wymiar indukcyjny jest liczbą całkowitą nie mniejszą od -1 lub nieskończonością. Określony jest za pomocą indukcyjnej definicji, wyrażonej w poniższych czterech warunkach:

(DU1) 

(DU2)    (dla  ),  jeśli dla każdego zbioru domkniętego oraz jego dowolnego otoczenia Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): V \subseteq X istnieje zbiór otwarty Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): U \subseteq X taki, że   oraz  .

(DU3)  ,  gdy oraz nie zachodzi

(DU4)  , gdy dla żadnego   nie jest prawdą, że .

Uwaga Od zbioru można w warunku (DU2) wymagać, by jego domknięcie było zawarte w zbiorze .

Wymiar pokryciowy Čecha-Lebesgue'a (topologia)[edytuj]

Dowolnej przestrzeni normalnej można przypisać wymiar pokryciowy Čecha-Lebegue'a, który będziemy oznaczać . Wymiar Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \dim X jest liczbą całkowitą nie mniejszą niż -1 lub jest nieskończony. Wymiar definiują następujące warunki:

(CL1) 
, jeśli w każde skończone pokrycie otwarte przestrzeni można wpisać skończone pokrycie otwarte takie, że każde zbiory tego pokrycia mają puste przecięcie.
(CL2) 
, jeśli , ale nieprawda, że Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \dim X \leqslant n - 1 .
(CL3) 
Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \dim X \leqslant n jest nieskończony, jeśli dla żadnej liczby Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): n nie zachodzi warunek (CL1).

Zauważmy, że ciężar definicji tkwi w warunku (CL1); dwa pozostałe mają charakter porządkujący.

Historia pojęcia[edytuj]

Wymiar pokryciowy został zdefiniowany i zbadany przez Eduarda Čecha w pracy z 1933. Pojęcie nawiązuje do odkrytej przez Lebesgue'a własności kostki n-wymiarowej.

Intuicja Zauważmy (a pierwszy uczynił to Henri Lebesgue w 1911 roku, w wymiarze ), że możemy pokryć odcinek jednostkowy I rodziną odcinków o dowolnie małej (z góry zadanej) długości, w taki sposób, że każda trójka odcinków ma puste przecięcie. Nie da się jednak tego uczynić tak, by każda para była rozłączna.

Z kolei kwadrat zawsze możemy pokryć prostokątami o dowolnie krótkim (znowu z góry zadanym) dłuższym boku, w taki sposób, że dowolnie wybrane cztery prostokąty nie przecinają się. Ale nie możemy pokryć go prostokątami w taki sposób, żeby żadna z trójek prostokątów nie miała części wspólnej.

Wreszcie, możemy sześcian wypełnić skończoną rodziną dowolnie małych prostopodłościanów (wyobraźmy sobie stertę cegieł) w taki sposób, że każde pięć będzie miało pustą część wspólną. Ale musi istnieć taka czwórka prostopadłościanów, która ma niepuste przecięcie (w wyobrażonym obrazie sterty cegieł - każda cegła musi mieć punkt w którym styka się z trzema innymi cegłami).

Dodajemy teraz, że Lebesgue podał dowody powyższych obserwacji i to nie tylko dla przypadku pokryć kostkami odpowiedniego wymiaru ("cegiełkami"), ale dla pokryć dowolnymi zbiorami otwartymi. Twierdzenie to legło u podstaw budowy teorii wymiaru pokryciowego Čecha-Lebesgue'a.

Wymiar rozmaitości topologicznej[edytuj]

Na mocy definicji, rozmaitość topologiczna jest lokalnie homeomorficzna z pewną przestrzenią . Wtedy Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): n jest wymiarem topologicznym rozmaitości.

Wymiar fraktalny, wymiar Hausdorffa[edytuj]

Istnieje więcej niż jedno pojęcie "wymiaru fraktalnego". Najczęściej oznacza wymiar Hausdorffa. Stosowane są też inne definicje. Do najważniejszych można zaliczyć wymiar pudełkowy (box-counting dimension) i wymiar pakowania (packing dimension).

Równoważność definicji wymiaru[edytuj]

Na mocy zasadniczego twierdzenia teorii wymiaru trzy klasyczne definicje wymiaru: Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \mathrm{ind}, \mathrm{Ind}, \dim , są równoważne dla wszystkich ośrodkowych przestrzeni metrycznych. Ponadto oraz Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \mathrm{Ind} są równoważne dla przestrzeni metrycznych, podczas gdy Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \mathrm{ind}, \mathrm{Ind} są równoważne dla przestrzeni zwartych. Przykłady pokazują, że ogólnie trzy klasyczne funkcje wymiaru są różne.

Przykłady:

Płaszczyzna zespolona ma wymiar 1 jako przestrzeń liniowa, natomiast z topologicznego punktu widzenia jest płaszczyzną, zatem mały i duży wymiar indukcyjny, wymiar pokryciowy oraz wymiar Hausdorffa (względem zwykłej metryki euklidesowej) płaszczyzny zespolonej jest równy 2. Wymiar topologiczny trójkąta Sierpińskiego jest równy 1 (zbiór daje się rozciąć pojedynczymi punktami) a wymiar Hausdorffa wynosi

.


Bibliografia[edytuj]

  • Ryszard Engelking Teoria wymiaru, Warszawa 1981; Roman Duda O pojęciu wymiaru, Warszawa 1972.