Wymiar pudełkowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wymiar pudełkowy (objętościowy, pojemnościowy) – uogólnienie intuicyjnego pojęcia wymiaru, zdefiniowane przez Andrieja Kołmogorowa.

Pozwala on na obliczanie wymiaru dla zbiorów, dla których ustalenie wymiaru drogą nieformalną nie jest sprawą oczywistą (np. dla zbioru Cantora). Jest on oparty na koncepcji zliczania ilości tzw. „pudełek”, którymi pokrywa się badany zbiór.

Potrzebne oznaczenia i definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie podzbiorem -wymiarowej przestrzeni euklidesowej (np. dla płaszczyzny). Niech ponadto będzie zwarty i niepusty.

Oznaczmy przez rodzinę wszystkich -wymiarowych kostek domkniętych o krawędzi Elementy rodziny nazywać będziemy pudełkami (skąd pochodzi nazwa wymiaru). Niech dalej oznacza najmniejszą możliwą liczbę pudełek potrzebnych do pokrycia zbioru

gdzie oznacza liczność (moc) zbioru I tak na przykład przedział można pokryć minimalnie dwoma kostkami z rodziny czyli np. Można to zrobić także większą liczbą kostek o takim promieniu, natomiast nie można mniejszą. Stąd gdy to

Wymiarem pudełkowym zbioru nazywamy granicę

gdzie symbol należy zrozumieć tak jak napisano wyżej.

Powyższa granica jest dobrze określona, co wynika ze zwartości zbioru

Przykład obliczeniowy[edytuj | edytuj kod]

Wygodnym sposobem obliczania wymiaru dwuwymiarowego zbioru jest przedstawienie go na siatce, której oczka mają rozmiar a następnie zliczanie, ile oczek siatki potrzeba do pokrycia zbioru. Niemniej w przykładzie niektórych fraktali wystarczy wziąć pod uwagę sposób, w jaki są one tworzone, sprowadza się to wtedy do wymiaru samopodobieństwa.

Przykładowo, zbiór Cantora powstaje w wyniku iteracji. Na każdym jej kroku zbiór dzieli się na dwa mniejsze, a każdy z tych nowo utworzonych zbiorów jest trzykrotnie mniejszy, niż zbioru z poprzedniego etapu procesu. Stąd, jeśli przyjmiemy (gdzie oznacza etap konstrukcji zbioru), to otrzymamy

Możemy więc napisać

Widać stąd, że wymiar zbioru Cantora nie jest liczbą całkowitą.