Wymiar pudełkowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wymiar pudełkowy (objętościowy, pojemnościowy) - uogólnienie intuicyjnego pojęcia wymiaru, zdefiniowane przez Andrieja Kołmogorowa.

Pozwala on na obliczanie wymiaru dla zbiorów, dla których ustalenie wymiaru drogą nieformalną nie jest sprawą oczywistą (np. dla zbioru Cantora). Jest on oparty na koncepcji zliczania ilości tzw. ,,pudełek", którymi pokrywa się badany zbiór.

Potrzebne oznaczenia i definicja[edytuj]

Niech będzie podzbiorem - wymiarowej przestrzeni euklidesowej (np. dla : płaszczyzny). Niech ponadto będzie zwarty i niepusty.

Oznaczmy przez iloczyn kartezjański przedziałów o długości . Zbiór taki nazywamy kostką -wymiarową. I tak na przykład gdy , jest kostką jednowymiarową, czyli przedziałem o długości . Gdy jest kwadratem o boku długości (pole tego kwadratu wynosi oczywiście ), i tak dalej.

Niech oznacza najmniejszą możliwą liczbę kostek (zwanych także, skąd pochodzi nazwa wymiaru, ,,pudełkami") potrzebnych do pokrycia zbioru . Zatem jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że

przy czym -krotne dodawanie nie oznacza że sumujemy ze sobą wielokrotnie ten sam zbiór, ale wiele takich samych zbiorów (nie ma tu mowy o ich przestrzennym ułożeniu). I tak na przykład przedział można pokryć minimalnie dwoma kostkami czyli np. . Można to zrobić także większą liczbą kostek o takim promieniu, natomiast nie można mniejszą. Stąd gdy to

Wymiarem pudełkowym zbioru nazywamy granicę

gdzie symbol należy zrozumieć tak jak napisano wyżej.

Powyższa granica jest dobrze określona, co wynika ze zwartośći zbioru .

Przykład obliczeniowy[edytuj]

Wygodnym sposobem obliczania wymiaru dwuwymiarowego zbioru jest przedstawienie go na siatce, której oczka mają rozmiar a następnie zliczanie, ile oczek siatki potrzeba do pokrycia zbioru. Niemniej w przykładzie niektórych fraktali wystarczy wziąć pod uwagę sposób, w jaki są one tworzone, sprowadza się to wtedy do wymiaru samopodobieństwa.

Przykładowo, zbiór Cantora powstaje w wyniku iteracji. Na każdym jej kroku zbiór dzieli się na dwa mniejsze, a każdy z tych nowo utworzonych zbiorów jest trzykrotnie mniejszy, niż zbioru z poprzedniego etapu procesu. Stąd, jeśli przyjmiemy (gdzie oznacza etap konstrukcji zbioru), to otrzymamy

Możemy więc napisać

Widać stąd, że wymiar zbioru Cantora nie jest liczbą całkowitą.