Otoczka wypukła, powłoka wypukła a. uwypuklenie podzbioru przestrzeni liniowej – najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór wypukły zawierający ten podzbiór. Otoczkę wypukłą podzbioru oznacza się zwykle jako
Przekrój dowolnej ilości zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym, więc najmniejszy zbiór wypukły zawierający A możemy zdefiniować jako przekrój wszystkich zbiorów wypukłych zawierających A. Zapisujemy to za pomocą formuły:
Powłoką wypukłą zbioru wypukłego jest ten sam zbiór.
Dla dowolnego skończonego zbioru punktów płaszczyzny {P1, P2, ..., Pn}, gdzie powłoka wypukła tego zbioru jest wielokątem wypukłym (ewentualnie zdegenerowanym do odcinka) o wierzchołkach należących do zbioru . Analogicznie w przestrzeni 3-wymiarowej powłoka wypukła skończonego zbioru punktów jest wielościanem wypukłym (ewentualnie zdegenerowanym do wielokąta lub odcinka).
Powłoką wypukłą zbioru trzech punktów niewspółliniowych (takich, które nie leżą na wspólnej prostej) jest trójkąt o wierzchołkach w tych punktach.
Otoczką wypukłą zbioru dwupunktowego {A, B} jest odcinek AB.
W n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej uwypukleniem zbioru punktów jest zbiór punktów o współrzędnych dodatnich, których suma jest równa 1. Zbiór taki nazywamy sympleksem. W przestrzeni 2-wymiarowej jest to odcinek, 3-wymiarowej trójkąt równoboczny, 4-wymiarowej czworościan foremny.
Oznaczmy operację tworzenia wszystkich wypukłych kombinacji liniowych elementów zbioru przez . Udowodnimy, że :. Zauważmy, że (wystarczy wziąć w definicji i ).
Wykażemy teraz, że jest zbiorem wypukłym: niech . Zatem, dla pewnych oraz dodatnich mamy
, oraz .
Niech będą takie, że . Wówczas
i stąd
.
Aby wykazać równość zbiorów postulowaną w udowodnimy dwie inkluzje. Najpierw:
Inkluzja zachodzi ponieważ w szczególności jednym ze zbiorów M zawierających zbiór A jest zatem cześć wspólna wszystkich zbiorów wypukłych zawierających A musi się zawierać w . Zatem .
Teraz inkluzja w druga stronę:
Przypuśćmy, że M jest zbiorem wypukłym takim, że . Teraz z obu stron inkluzji wykonujemy operację otrzymując:
Ponieważ tak jest dla każdego zbioru M więc także dla części wspólnej wszystkich zbiorów wypukłych M zawierających A zatem: