Wyznacznik

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz antysymetryczna
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Wyznacznikfunkcja przyporządkowująca każdej macierzy kwadratowej M_{n \times n}(\mathbb{R}) o współczynnikach z pierścienia przemiennego R pewien element tego pierścienia. Pierścieniem \mathbb{R} może być np. ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych.

Wyznacznik może być zdefiniowany na kilka równoważnych sposobów. Niezależnie od tego wyznacznik można traktować jako funkcję nie samej macierzy, a jej współczynników

a_{11}, \ldots, a_{1n},\ldots, a_{n1}, \ldots a_{nn}.

Jest on wówczas wielomianem n2 zmiennych stopnia n o współczynnikach z R .

Oznaczenia[edytuj]

Wyznacznik macierzy kwadratowej M oznaczany jest przez |M| lub \det M.

Dla macierzy

M=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{bmatrix}

stosuje się oznaczenia

|M|=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{array}\right| lub \mbox{det}M=\mbox{det}\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}
\end{bmatrix}

Notacja |M| jest powszechnie używana, chociaż może prowadzić do nieporozumień, ponieważ używa się jej do zapisu norm macierzy i wartości bezwzględnej.

Definicja permutacyjna[edytuj]

Niech A\in M_{n \times n}(\mathbb{R}) jest macierzą. Wówczas

\det A=\sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\rm{Inv}(\sigma)}~a_{1\sigma(1)}\cdot a_{2\sigma(2)}\cdot ... \cdot a_{n\sigma(n)},

gdzie S_n oznacza zbiór wszystkich permutacji zbioru \{1, 2, \cdots, n\}, zaś \rm{Inv}(\sigma) oznacza liczbę inwersji danej permutacji \sigma \in S_n.

Przykładowo składnik a_{13}a_{21}a_{34}a_{42} w wyznaczniku czwartego stopnia ma ujemny znak, gdyż permutacja indeksów

\tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix},

ma trzy inwersje, mianowicie: (3,1), (3,2) i (4,2), skąd \rm{Inv}(\tau)=3 oraz (-1)^3=-1.

Wyznacznik ogólny[edytuj]

Definicja permutacyjna ma swoje uogólnienie w postaci:

\det_p A=\sum_{\sigma \in S_n} (p)^{\rm{Inv}(\sigma)}~a_{1\sigma(1)}\cdot a_{2\sigma(2)}\cdot ... \cdot a_{n\sigma(n)},

gdzie A, S_n, \rm{Inv}(\sigma) jak wyżej.

Przykładowo dla  p=-1 otrzymujemy wyżej zdefiniowany wyznacznik, zaś dla  p=1 otrzymujemy permanent.

Definicja rekurencyjna[edytuj]

 Osobny artykuł: Rozwinięcie Laplace'a.

Niech A\in M_{n \times n}(\mathbb{R}) jest macierzą.
Wyznacznikiem macierzy nazywamy funkcję det:M_{n \times n}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R} spełniającą:

  1. jeśli n=1, to \mbox{det}A = a_{11} ,
  2. jeśli n>1, to \mbox{det}A = \sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\det A_{i, j}, gdzie j jest dowolną liczbą naturalną z zakresu 1\leqslant j\leqslant n, a przez A_{i,j} oznaczamy macierz stopnia n-1, powstałą z macierzy A poprzez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny (por. minor).

Jeśli stosuje się inną definicję wyznacznika, to powyższe rozwinięcie w sumę jest twierdzeniem nazywanym rozwinięciem Laplace'a.
Powyższa definicja opiera się o rozwinięcie wzdłuż j-tej kolumny, równoważnie można definiować wyznacznik w oparciu o rozwinięcie wzdłuż i-tego wiersza.

Definicja aksjomatyczna[edytuj]

Niech A\in M_{n \times n}(\mathbb{R}) będzie macierzą, której kolejne kolejne kolumny są oznaczone A_1,A_2,\dots, A_n. Każda z tych kolumn jest wektorem z przestrzeni liniowej \mathbb{R} ^n.

Wyznacznikiem macierzy (A_1,A_2,\dots, A_n) jest funkcja det:M_{n \times n}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{R} spełniająca:

  • \mbox{det}(A_1,\dots,k\cdot A_i+k^'\cdot A_i^'\dots, A_n)\ =\ k\cdot\mbox{det}(A_1,\dots,A_i\dots, A_n)\ +\ k^'\cdot\mbox{det}(A_1,\dots,A_i^'\dots, A_n)
  • \mbox{det}(A_1,\dots,A_i,\dots,A_j \dots,A_n)\ =\ -\mbox{det}(A_1,\dots,A_j\dots,A_i,\dots, A_n)\
  • \mbox{det}(I)=1

Z powyższej definicji wynika, że wyznacznik jest antysymetrycznym odwzorowaniem wieloliniowym.
Dowodzi się, że istnieje dokładnie jedno takie odwzorowanie spełniające powyższe aksjomaty.
W powyższej definicji macierze traktuje się jako układ kolumn, równoważnie można macierz traktować jako układ wierszy.

Własności[edytuj]

  1. Transpozycja macierzy nie powoduje zmiany wartości jej wyznacznika.
  2. Zamiana miejscami dwóch dowolnych kolumn lub wierszy macierzy zachowuje wartość bezwzględną jej wyznacznika lecz zmienia jego znak.
  3. Wyznacznik macierzy, której wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy tej macierzy (np. wiersz składa się tylko z zer lub jest wielokrotnością innego wiersza) ma wartość zero. To samo dotyczy kolumn.
  4. Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą mnoży przez tę samą stałą wartość wyznacznika.
  5. Dodając lub odejmując od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę lub kombinacje liniowe innych wierszy/kolumn nie zmieniamy wartości wyznacznika.
  6. Wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników: \det(A \cdot B)=\det A \cdot \det B.
  7. Wyznacznik macierzy odwrotnej jest równy odwrotności wyznacznika: \det (A^{-1})=(\det A)^{-1}.
  8. Zachodzi \det(k \cdot A)=k^n \cdot \det A, gdzie k jest dowolną liczbą, n stopniem macierzy A.

Obliczanie wyznaczników[edytuj]

Wyznacznik drugiego stopnia obliczamy według łatwego wzoru, wynikającego wprost z definicji permutacyjnej wyznacznika:

\det A=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

Wyznacznik trzeciego stopnia obliczamy według tzw. reguły Sarrusa:

\det A=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}

W przypadku macierzy wyższych stopni, a także niejednokrotnie w przypadku macierzy stopnia trzeciego, wygodniej jest stosować twierdzenie Laplace'a. Przykład obliczenia wyznacznika czwartego stopnia znajduje się we wspomnianym artykule.

Wyznacznik macierzy można też obliczyć stosując metodę eliminacji Gaussa. Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów na jej przekątnej, jest więc łatwy do obliczenia. Każdą macierz można sprowadzić do macierzy trójkątnej za pomocą operacji elementarnych, pamiętając że operacje te mają następujący wpływ na wyznacznik:

  1. Dodanie wielokrotności jednego wiersza (kolumny, odpowiednio) do innego wiersza (innej kolumny, odpowiednio) nie zmienia wartości wyznacznika;
  2. Pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę powoduje pomnożenie wyznacznika przez tę liczbę;
  3. Zamiana miejscami dwóch wierszy, tak jak i zamiana miejscami dwóch kolumn, zmienia znak wyznacznika.

Do obliczenia wyznacznika można wykorzystać również metodę LU.

Zastosowanie wyznaczników[edytuj]

Wyznaczniki pojawiają się w wielu miejscach w matematyce, np. przy:

Dowody niektórych własności[edytuj]

Niech zapis

 (A_1,\dots A_i,\dots,A_n)

oznacza macierz, której kolejnymi kolumnami są wektory pionowe  A_1,\dots A_i,\dots,A_n.


Przyjmijmy następujące własności wyznacznika:

  • pomnożenie kolumny przez k mnoży wyznacznik macierzy przez k
\mbox{det}(A_1,\dots ,k\cdot A_i,\dots,A_n)\ =\ k\cdot \mbox{det}(A_1,\dots A_i,\dots,A_n)
  • dodanie jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika
\mbox{det}(A_1,\dots ,A_i,\dots,A_j,\dots,A_n)\ =\ \mbox{det}(A_1,\dots ,A_i,\dots,A_j+A_i,\dots,A_n)

Wówczas

  • Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika:
\mbox{det}(A_1,\dots ,A_i,\dots,A_j,\dots,A_n)\ =\ \mbox{det}(A_1,\dots ,A_i,\dots,A_i+k\cdot A_i,\dots,A_n)
  • Zamiana dwóch kolumn miejscami zmienia znak wyznacznika:
\mbox{det}(A_1,\dots ,A_i,\dots,A_j,\dots,A_n)\ =\ -\mbox{det}(A_1,\dots ,A_j,\dots,A_i,\dots,A_n)
Dowód

Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika.
Dla k= 0 dowód jest trywialny, niech więc k\neq 0:

\mbox{det}(A_1,\dots ,A_i,\dots,A_j,\dots,A_n)\ =\
=\frac{1}{k}\mbox{det}(A_1,\dots ,k\cdot A_i,\dots,A_j,\dots,A_n)\ =\
=\frac{1}{k}\mbox{det}(A_1,\dots ,k\cdot A_i,\dots,A_j+k\cdot A_i,\dots,A_n)\ =\
=\mbox{det}(A_1,\dots , A_i,\dots,A_j+k\cdot A_i,\dots,A_n)

Zamiana dwóch kolumn miejscami zmienia znak wyznacznika:

\mbox{det}(A_1,\dots ,A_i,\dots,A_j,\dots,A_n)\ =\
=\mbox{det}(A_1,\dots ,A_i,\dots,A_j-A_i,\dots,A_n)\ =\
=\mbox{det}(A_1,\dots ,A_i+(A_j-A_i),\dots,A_j-A_i,\dots,A_n)\ =\
=\mbox{det}(A_1,\dots ,A_j,\dots,A_j-A_i,\dots,A_n)\ =\
=\mbox{det}(A_1,\dots ,A_j,\dots,A_j-A_i-A_j,\dots,A_n)\ =\
=\mbox{det}(A_1,\dots ,A_j,\dots,-A_i,\dots,A_n)\ =\
=-\mbox{det}(A_1,\dots ,A_j,\dots,A_i,\dots,A_n)


Analogicznie wyprowadza się te zależności dla wierszy.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • A. Mostowski, M. Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna tom 16. str. 83-131
  • Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2002. ISBN 83-89020-00-9. str. 109-123

Linki zewnętrzne[edytuj]