Wyznacznik – funkcja przyporządkowująca każdej macierzy kwadratowej
o współczynnikach z pierścienia przemiennego
pewien element tego pierścienia. Pierścieniem
może być np. ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych.
Wyznacznik może być zdefiniowany na kilka równoważnych sposobów. Niezależnie od tego wyznacznik można traktować jako funkcję nie samej macierzy, a jej współczynników

Jest on wówczas wielomianem
zmiennych stopnia
o współczynnikach z
Wyznacznik macierzy kwadratowej
oznaczany jest przez
lub
Dla macierzy

stosuje się oznaczenia
lub 
Notacja
jest powszechnie używana, chociaż może prowadzić do nieporozumień, ponieważ używa się jej do zapisu norm macierzy i wartości bezwzględnej.
Niech
jest macierzą. Wówczas

gdzie
oznacza zbiór wszystkich permutacji zbioru
zaś
oznacza liczbę inwersji danej permutacji
Przykładowo składnik
w wyznaczniku czwartego stopnia ma ujemny znak, gdyż permutacja indeksów

ma trzy inwersje, mianowicie:
i
skąd
oraz
Definicja permutacyjna ma swoje uogólnienie w postaci:

gdzie
jak wyżej.
Przykładowo dla
otrzymujemy wyżej zdefiniowany wyznacznik, zaś dla
otrzymujemy permanent.
Niech
jest macierzą. Wyznacznikiem macierzy nazywamy funkcję
spełniającą:
- jeśli
to 
- jeśli
to
gdzie
jest dowolną liczbą naturalną z zakresu
a przez
oznaczamy macierz stopnia
powstałą z macierzy
poprzez skreślenie
-tego wiersza i
-tej kolumny (por. minor).
Jeśli stosuje się inną definicję wyznacznika, to powyższe rozwinięcie w sumę jest twierdzeniem nazywanym rozwinięciem Laplace’a. Powyższa definicja opiera się o rozwinięcie wzdłuż
-tej kolumny, równoważnie można definiować wyznacznik w oparciu o rozwinięcie wzdłuż
-tego wiersza.
Niech
będzie macierzą, której kolejne kolumny są oznaczone
Każda z tych kolumn jest wektorem z przestrzeni liniowej
Wyznacznikiem macierzy
jest funkcja
spełniająca:



Z powyższej definicji wynika, że wyznacznik jest antysymetrycznym odwzorowaniem wieloliniowym. Dowodzi się, że istnieje dokładnie jedno takie odwzorowanie spełniające powyższe aksjomaty. W powyższej definicji macierze traktuje się jako układ kolumn, równoważnie można macierz traktować jako układ wierszy.
- Transpozycja macierzy nie powoduje zmiany wartości jej wyznacznika:

- Zamiana miejscami dwóch dowolnych kolumn lub wierszy macierzy zachowuje wartość bezwzględną jej wyznacznika, lecz zmienia jego znak.
- Wyznacznik macierzy, której wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy tej macierzy (np. wiersz składa się tylko z zer lub jest wielokrotnością innego wiersza) ma wartość zero. To samo dotyczy kolumn.
- Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą mnoży przez tę samą stałą wartość wyznacznika.
- Dodając lub odejmując od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę lub kombinacje liniowe innych wierszy/kolumn, nie zmieniamy wartości wyznacznika.
- Wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników:

- Wyznacznik macierzy odwrotnej jest równy odwrotności wyznacznika:

- Zachodzi
gdzie
jest dowolną liczbą,
stopniem macierzy 
- Pochodna wyznacznika wyraża się przez ślad w następujący sposób:

Wyznacznik drugiego stopnia obliczamy według łatwego wzoru, wynikającego wprost z definicji permutacyjnej wyznacznika:

Wyznacznik trzeciego stopnia obliczamy według tzw. reguły Sarrusa:

W przypadku macierzy wyższych stopni, a także niejednokrotnie w przypadku macierzy stopnia trzeciego, wygodniej jest stosować rozwinięcie Laplace’a.
Wyznacznik macierzy można też obliczyć, stosując metodę eliminacji Gaussa. Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów na jej przekątnej, jest więc łatwy do obliczenia. Każdą macierz można sprowadzić do macierzy trójkątnej za pomocą operacji elementarnych, pamiętając, że operacje te mają następujący wpływ na wyznacznik:
- Dodanie wielokrotności jednego wiersza (kolumny, odpowiednio) do innego wiersza (innej kolumny, odpowiednio) nie zmienia wartości wyznacznika.
- Pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę powoduje pomnożenie wyznacznika przez tę liczbę.
- Zamiana miejscami dwóch wierszy, tak jak i zamiana miejscami dwóch kolumn, zmienia znak wyznacznika.
Do obliczenia wyznacznika można wykorzystać również metodę LU.
Wyznaczniki pojawiają się w wielu miejscach w matematyce, np. przy:
Niech zapis

oznacza macierz, której kolejnymi kolumnami są wektory pionowe
Przyjmijmy następujące własności wyznacznika:
- pomnożenie kolumny przez
mnoży wyznacznik macierzy przez 

- dodanie jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika

Wówczas
- Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika:

- Zamiana dwóch kolumn miejscami zmienia znak wyznacznika:

- Dowód
Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika. Dla
dowód jest trywialny, niech więc

Zamiana dwóch kolumn miejscami zmienia znak wyznacznika:

Analogicznie wyprowadza się te zależności dla wierszy.
- A. Mostowski, M. Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: PWN, 1975, s. 83–131, seria: Biblioteka Matematyczna tom 16.
- Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2002, s. 109–123. ISBN 83-89020-00-9.
Macierze |
---|
Niektóre typy macierzy |
Cechy niezależne od bazy |
|
---|
Cechy zależne od bazy |
|
---|
|  |
---|
Operacje na macierzach |
jednoargumentowe |
|
---|
dwuargumentowe |
|
---|
|
---|
Niezmienniki |
|
---|
|