Wyznacznik

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
Cechy niezależne od bazy:
macierz nieosobliwa
macierz osobliwa
macierz zerowa
macierz nilpotentna
macierz idempotentna

macierz ortogonalna
macierz symetryczna
macierz dodatnio określona
macierz antysymetryczna

macierz unitarna
macierz hermitowska

Cechy zależne od bazy:
macierz jednostkowa
macierz skalarna
macierz diagonalna
macierz trójkątna
macierz schodkowa
macierz klatkowa
macierz wstęgowa

macierz elementarna
macierz rzadka


Operacje na macierzach
operacje elementarne

mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie

mnożenie macierzy
odwracanie macierzy

transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona

diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
rząd macierzy
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
minor macierzy

widmo macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Wyznacznikfunkcja przyporządkowująca każdej macierzy kwadratowej o współczynnikach z pierścienia przemiennego pewien element tego pierścienia. Pierścieniem może być np. ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych.

Wyznacznik może być zdefiniowany na kilka równoważnych sposobów. Niezależnie od tego wyznacznik można traktować jako funkcję nie samej macierzy, a jej współczynników

.

Jest on wówczas wielomianem n2 zmiennych stopnia n o współczynnikach z .

Oznaczenia[edytuj]

Wyznacznik macierzy kwadratowej oznaczany jest przez lub .

Dla macierzy

stosuje się oznaczenia

lub

Notacja jest powszechnie używana, chociaż może prowadzić do nieporozumień, ponieważ używa się jej do zapisu norm macierzy i wartości bezwzględnej.

Definicja permutacyjna[edytuj]

Niech jest macierzą. Wówczas

,

gdzie oznacza zbiór wszystkich permutacji zbioru , zaś oznacza liczbę inwersji danej permutacji .

Przykładowo składnik w wyznaczniku czwartego stopnia ma ujemny znak, gdyż permutacja indeksów

,

ma trzy inwersje, mianowicie: , i , skąd oraz .

Wyznacznik ogólny[edytuj]

Definicja permutacyjna ma swoje uogólnienie w postaci:

,

gdzie , , jak wyżej.

Przykładowo dla otrzymujemy wyżej zdefiniowany wyznacznik, zaś dla otrzymujemy permanent.

Definicja rekurencyjna[edytuj]

 Osobny artykuł: Rozwinięcie Laplace’a.

Niech jest macierzą.
Wyznacznikiem macierzy nazywamy funkcję spełniającą:

  1. jeśli , to ,
  2. jeśli , to , gdzie jest dowolną liczbą naturalną z zakresu , a przez oznaczamy macierz stopnia , powstałą z macierzy poprzez skreślenie -tego wiersza i -tej kolumny (por. minor).

Jeśli stosuje się inną definicję wyznacznika, to powyższe rozwinięcie w sumę jest twierdzeniem nazywanym rozwinięciem Laplace’a.
Powyższa definicja opiera się o rozwinięcie wzdłuż j-tej kolumny, równoważnie można definiować wyznacznik w oparciu o rozwinięcie wzdłuż i-tego wiersza.

Definicja aksjomatyczna[edytuj]

Niech będzie macierzą, której kolejne kolejne kolumny są oznaczone . Każda z tych kolumn jest wektorem z przestrzeni liniowej .

Wyznacznikiem macierzy jest funkcja spełniająca:

Z powyższej definicji wynika, że wyznacznik jest antysymetrycznym odwzorowaniem wieloliniowym.
Dowodzi się, że istnieje dokładnie jedno takie odwzorowanie spełniające powyższe aksjomaty.
W powyższej definicji macierze traktuje się jako układ kolumn, równoważnie można macierz traktować jako układ wierszy.

Własności[edytuj]

  1. Transpozycja macierzy nie powoduje zmiany wartości jej wyznacznika.
  2. Zamiana miejscami dwóch dowolnych kolumn lub wierszy macierzy zachowuje wartość bezwzględną jej wyznacznika lecz zmienia jego znak.
  3. Wyznacznik macierzy, której wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy tej macierzy (np. wiersz składa się tylko z zer lub jest wielokrotnością innego wiersza) ma wartość zero. To samo dotyczy kolumn.
  4. Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą mnoży przez tę samą stałą wartość wyznacznika.
  5. Dodając lub odejmując od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę lub kombinacje liniowe innych wierszy/kolumn nie zmieniamy wartości wyznacznika.
  6. Wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników: .
  7. Wyznacznik macierzy odwrotnej jest równy odwrotności wyznacznika: .
  8. Zachodzi , gdzie jest dowolną liczbą, stopniem macierzy .

Obliczanie wyznaczników[edytuj]

Wyznacznik drugiego stopnia obliczamy według łatwego wzoru, wynikającego wprost z definicji permutacyjnej wyznacznika:

Wyznacznik trzeciego stopnia obliczamy według tzw. reguły Sarrusa:

W przypadku macierzy wyższych stopni, a także niejednokrotnie w przypadku macierzy stopnia trzeciego, wygodniej jest stosować rozwinięcie Laplace’a.

Wyznacznik macierzy można też obliczyć stosując metodę eliminacji Gaussa. Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów na jej przekątnej, jest więc łatwy do obliczenia. Każdą macierz można sprowadzić do macierzy trójkątnej za pomocą operacji elementarnych, pamiętając że operacje te mają następujący wpływ na wyznacznik:

  1. Dodanie wielokrotności jednego wiersza (kolumny, odpowiednio) do innego wiersza (innej kolumny, odpowiednio) nie zmienia wartości wyznacznika;
  2. Pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę powoduje pomnożenie wyznacznika przez tę liczbę;
  3. Zamiana miejscami dwóch wierszy, tak jak i zamiana miejscami dwóch kolumn, zmienia znak wyznacznika.

Do obliczenia wyznacznika można wykorzystać również metodę LU.

Zastosowanie wyznaczników[edytuj]

Wyznaczniki pojawiają się w wielu miejscach w matematyce, np. przy:

Dowody niektórych własności[edytuj]

Niech zapis

oznacza macierz, której kolejnymi kolumnami są wektory pionowe .


Przyjmijmy następujące własności wyznacznika:

  • pomnożenie kolumny przez mnoży wyznacznik macierzy przez
  • dodanie jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika

Wówczas

  • Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika:
  • Zamiana dwóch kolumn miejscami zmienia znak wyznacznika:
Dowód

Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika.
Dla dowód jest trywialny, niech więc :

Zamiana dwóch kolumn miejscami zmienia znak wyznacznika:


Analogicznie wyprowadza się te zależności dla wierszy.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • A. Mostowski, M. Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna tom 16. str. 83-131
  • Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2002. ISBN 83-89020-00-9. str. 109-123

Linki zewnętrzne[edytuj]