Wyznacznik

Wyznacznik – funkcja przyporządkowująca każdej macierzy kwadratowej $M_{n\times n}(R)$ o współczynnikach z pierścienia przemiennego $R$ pewien element tego pierścienia. Pierścieniem $R$ może być np. ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych.

Wyznacznik może być zdefiniowany na kilka równoważnych sposobów. Niezależnie od tego wyznacznik można traktować jako funkcję nie samej macierzy, a jej współczynników

$a_{11},\dots ,a_{1n},\dots ,a_{n1},\dots a_{nn}.$

Jest on wówczas wielomianem $n^{2}$ zmiennych stopnia $n$ o współczynnikach z $R.$

Oznaczenia

Wyznacznik macierzy kwadratowej $M$ oznaczany jest przez $|M|$ lub $\det M.$

Dla macierzy

$M={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

stosuje się oznaczenia

$|M|=\left|{\begin{array}{c}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{array}}\right|$   lub   $\det M=\det {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}.$

Notacja $|M|$ jest powszechnie używana, chociaż może prowadzić do nieporozumień, ponieważ używa się jej do zapisu norm macierzy i wartości bezwzględnej.

Definicja permutacyjna

Niech $A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )$ jest macierzą. Wówczas

$\det A=\sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\mathrm {Inv} (\sigma )}~a_{1\sigma (1)}\cdot a_{2\sigma (2)}\cdot \ldots \cdot a_{n\sigma (n)},$

gdzie $S_{n}$ oznacza zbiór wszystkich permutacji zbioru $\{1,2,\dots ,n\},$ zaś $\mathrm {Inv} (\sigma )$ oznacza liczbę inwersji danej permutacji $\sigma \in S_{n}.$

Przykładowo składnik $a_{13}a_{21}a_{34}a_{42}$ w wyznaczniku czwartego stopnia ma ujemny znak, gdyż permutacja indeksów

$\tau ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&4&2\end{pmatrix}},$

ma trzy inwersje, mianowicie: $(3,1),$ $(3,2)$ i $(4,2),$ skąd $\mathrm {Inv} (\tau )=3$ oraz $(-1)^{3}=-1.$

Wyznacznik ogólny

Definicja permutacyjna ma swoje uogólnienie w postaci:

$\det _{p}A=\sum _{\sigma \in S_{n}}(p)^{\mathrm {Inv} (\sigma )}~a_{1\sigma (1)}\cdot a_{2\sigma (2)}\cdot \ldots \cdot a_{n\sigma (n)},$

gdzie $A,$ $S_{n},$ $\mathrm {Inv} (\sigma )$ jak wyżej.

Przykładowo dla $p=-1$ otrzymujemy wyżej zdefiniowany wyznacznik, zaś dla $p=1$ otrzymujemy permanent.

Definicja rekurencyjna

Niech $A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )$ jest macierzą. Wyznacznikiem macierzy nazywamy funkcję $\det \colon M_{n\times n}(\mathbb {R} )\rightarrow \mathbb {R}$ spełniającą:

1. jeśli $n=1,$ to $\det A=a_{11},$
2. jeśli $n>1,$ to $\det A=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det A_{i,j},$ gdzie $j$ jest dowolną liczbą naturalną z zakresu $1\leqslant j\leqslant n,$ a przez $A_{i,j}$ oznaczamy macierz stopnia $n-1,$ powstałą z macierzy $A$ poprzez skreślenie $i$-tego wiersza i $j$-tej kolumny (por. minor).

Jeśli stosuje się inną definicję wyznacznika, to powyższe rozwinięcie w sumę jest twierdzeniem nazywanym rozwinięciem Laplace’a. Powyższa definicja opiera się o rozwinięcie wzdłuż $j$-tej kolumny, równoważnie można definiować wyznacznik w oparciu o rozwinięcie wzdłuż $i$-tego wiersza.

Definicja aksjomatyczna

Niech $A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )$ będzie macierzą, której kolejne kolumny są oznaczone $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}.$ Każda z tych kolumn jest wektorem z przestrzeni liniowej $\mathbb {R} ^{n}.$

Wyznacznikiem macierzy $(A_{1},A_{2},\dots ,A_{n})$ jest funkcja $\det \colon M_{n\times n}(\mathbb {R} )\rightarrow \mathbb {R}$ spełniająca:

• $\det(A_{1},\dots ,k\cdot A_{i}+k^{'}\cdot A_{i}^{'}\dots ,A_{n})=k\cdot \det(A_{1},\dots ,A_{i}\dots ,A_{n})+k^{'}\cdot \det(A_{1},\dots ,A_{i}^{'}\dots ,A_{n}),$
• $\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j}\dots ,A_{n})=-\det(A_{1},\dots ,A_{j}\dots ,A_{i},\dots ,A_{n}),$
• $\det(I)=1.$

Z powyższej definicji wynika, że wyznacznik jest antysymetrycznym odwzorowaniem wieloliniowym. Dowodzi się, że istnieje dokładnie jedno takie odwzorowanie spełniające powyższe aksjomaty. W powyższej definicji macierze traktuje się jako układ kolumn, równoważnie można macierz traktować jako układ wierszy.

Własności

1. Transpozycja macierzy nie powoduje zmiany wartości jej wyznacznika: $\det A^{T}=\det A.$
2. Zamiana miejscami dwóch dowolnych kolumn lub wierszy macierzy zachowuje wartość bezwzględną jej wyznacznika, lecz zmienia jego znak.
3. Wyznacznik macierzy, której wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy tej macierzy (np. wiersz składa się tylko z zer lub jest wielokrotnością innego wiersza) ma wartość zero. To samo dotyczy kolumn.
4. Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą mnoży przez tę samą stałą wartość wyznacznika.
5. Dodając lub odejmując od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę lub kombinacje liniowe innych wierszy/kolumn, nie zmieniamy wartości wyznacznika.
6. Wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników: $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B.$
7. Wyznacznik macierzy odwrotnej jest równy odwrotności wyznacznika: $\det(A^{-1})=(\det A)^{-1}.$
8. Zachodzi $\det(k\cdot A)=k^{n}\cdot \det A,$ gdzie $k$ jest dowolną liczbą, $n$ stopniem macierzy $A.$
9. Pochodna wyznacznika wyraża się przez ślad w następujący sposób: $d(\det(A))(X)=\det(A)\operatorname {tr} (A^{-1}X)$

Obliczanie wyznaczników

Wyznacznik drugiego stopnia obliczamy według łatwego wzoru, wynikającego wprost z definicji permutacyjnej wyznacznika:

$\det A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

Wyznacznik trzeciego stopnia obliczamy według tzw. reguły Sarrusa:

$\det A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}$

W przypadku macierzy wyższych stopni, a także niejednokrotnie w przypadku macierzy stopnia trzeciego, wygodniej jest stosować rozwinięcie Laplace’a.

Wyznacznik macierzy można też obliczyć, stosując metodę eliminacji Gaussa. Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów na jej przekątnej, jest więc łatwy do obliczenia. Każdą macierz można sprowadzić do macierzy trójkątnej za pomocą operacji elementarnych, pamiętając, że operacje te mają następujący wpływ na wyznacznik:

1. Dodanie wielokrotności jednego wiersza (kolumny, odpowiednio) do innego wiersza (innej kolumny, odpowiednio) nie zmienia wartości wyznacznika.
2. Pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę powoduje pomnożenie wyznacznika przez tę liczbę.
3. Zamiana miejscami dwóch wierszy, tak jak i zamiana miejscami dwóch kolumn, zmienia znak wyznacznika.

Do obliczenia wyznacznika można wykorzystać również metodę LU.

Zastosowanie wyznaczników

Wyznaczniki pojawiają się w wielu miejscach w matematyce, np. przy:

• rozwiązywaniu układów równań liniowych,
• odwracaniu macierzy,
• obliczaniu objętości brył (np. czworościanu), a więc m.in. w analizie,
• badaniu wielomianu Hurwitza (stabilność systemu),
• zamianie zmiennych w całkach wielokrotnych,
• sprawdzeniu, czy znaleziony w zadaniu na ekstremum punkt stanowi minimum czy maksimum funkcji (kryterium Sylvestera).

Dowody niektórych własności

Niech zapis

$(A_{1},\dots A_{i},\dots ,A_{n})$

oznacza macierz, której kolejnymi kolumnami są wektory pionowe $A_{1},\dots A_{i},\dots ,A_{n}.$

Przyjmijmy następujące własności wyznacznika:

• pomnożenie kolumny przez $k$ mnoży wyznacznik macierzy przez $k$

$\det(A_{1},\dots ,k\cdot A_{i},\dots ,A_{n})=k\cdot \det(A_{1},\dots A_{i},\dots ,A_{n})$

• dodanie jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika

$\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})=\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j}+A_{i},\dots ,A_{n})$

Wówczas

• Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika:

$\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})=\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{i}+k\cdot A_{i},\dots ,A_{n})$

• Zamiana dwóch kolumn miejscami zmienia znak wyznacznika:

$\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})=-\det(A_{1},\dots ,A_{j},\dots ,A_{i},\dots ,A_{n})$

Dowód

Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika. Dla $k=0$ dowód jest trywialny, niech więc $k\neq 0{:}$

${\begin{aligned}&\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})\\=\ &{\frac {1}{k}}\det(A_{1},\dots ,k\cdot A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})\\=\ &{\frac {1}{k}}\det(A_{1},\dots ,k\cdot A_{i},\dots ,A_{j}+k\cdot A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j}+k\cdot A_{i},\dots ,A_{n})\end{aligned}}$

Zamiana dwóch kolumn miejscami zmienia znak wyznacznika:

${\begin{aligned}&\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{i},\dots ,A_{j}-A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{i}+(A_{j}-A_{i}),\dots ,A_{j}-A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{j},\dots ,A_{j}-A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{j},\dots ,A_{j}-A_{i}-A_{j},\dots ,A_{n})\\=\ &\det(A_{1},\dots ,A_{j},\dots ,-A_{i},\dots ,A_{n})\\=\ &-\det(A_{1},\dots ,A_{j},\dots ,A_{i},\dots ,A_{n})\end{aligned}}$

Analogicznie wyprowadza się te zależności dla wierszy.

Zobacz też

• hesjan, jakobian, wrońskian
• metoda Gaussa
• metoda LU
• permanent
• tensor
• tensor alternujący
• twierdzenie Cauchy’ego (teoria wyznaczników)

Bibliografia

• A. Mostowski, M. Stark: Elementy algebry wyższej. Warszawa: PWN, 1975, s. 83–131, seria: Biblioteka Matematyczna tom 16.
• Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2002, s. 109–123. ISBN 83-89020-00-9.

Linki zewnętrzne

• Opis wyznacznika na stronie dydaktycznej MIM UW
• Dwa wykłady o wyznaczniku: cz. 1 oraz cz. 2, wazniak.mimuw.edu.pl
• Skrypt obliczający m.in. wyznacznik macierzy