Wzór Bethego-Blocha

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Wzór Bethego-Blocha, wzór Bethego – w fizyce, wyrażenie określające straty energii kinetycznej cząstki naładowanej przy przechodzeniu przez ośrodek materialny, spowodowane jonizacją atomów ośrodka. Wyprowadzony przez Hansa Bethego w roku 1930.

Wyrażenie matematyczne[edytuj | edytuj kod]

Współcześnie wzór ten zapisywany jest w postaci[1]

 -{\mathrm{d}E\over\mathrm{d}x}={4\pi N_A Z \rho\over A m_ec^2}
\left({e^2\over 4\pi\varepsilon_0}\right)^2{z^2\over \beta^2} 
\left[{1\over 2}\ln\left({2m_ec^2\beta^2\ T_{\mathrm{max}}\over\left(1-\beta^2\right) I^2}\right) 
-\beta^2 -{\delta\over 2}\right]

gdzie

\mathrm{d}E/\mathrm{d}x – strata energii cząstki na jednostkę przebytej odległości,
N_Aliczba Avogadro,
Z, Aliczba atomowa i liczba masowa atomów ośrodka,
\rhogęstość ośrodka,
m_e, emasa i ładunek elektryczny elektronu,
z – ładunek cząstki w jednostkach e (ładunek cząstki q = ze),
\beta – prędkość cząski w jednostkach prędkości światła (\beta = v/c),
\varepsilon_0przenikalność elektryczna próżni,
T_{\mathrm{max}} – maksymalna energia kinetyczna, jaka może być przekazana elektronowi w pojedynczym zderzeniu (patrz poniżej),
I – średnia energia jonizacji, w elektronowoltach,
\delta/2 – poprawka na gęstość pola, istotna przy wyższych energiach (patrz poniżej)

Maksymalna energia, która może być przekazana elektronowi w jednym zderzeniu, zależy od masy cząstki M i jej prędkości w następujący sposób:

T_\mathrm{max} = {2 m_e c^2 \beta^2 \gamma^2 \over 
  1+2\gamma m_e/M + (m_e/M)^2}

gdzie \gamma=1\Big/\sqrt{(1-\beta^2)} jest czynnikiem relatywistycznym.

Poprawka \delta wynika z faktu, że efekty elektrostatycznej polaryzacji ośrodka zmniejszają zasięg oddziaływania pola cząstki. Zasięg pola w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu rośnie relatywistycznie jak \ln\beta\gamma, dlatego znaczenie tej poprawki rośnie ze wzrostem energii (czynnika γ). Przy bardzo dużych energiach poprawka opisywana jest w przybliżeniu wzorem:

{\delta\over 2} \approx \ln{\hbar\omega_p\over I} + \ln\beta\gamma -{1\over 2}

gdzie \omega_p jest częstością plazmową ośrodka, a \hbar to tzw. h kreślone(stała Diraca).

Należy pamiętać, że wzór powyższy podaje średnią stratę energii. Całkowita strata energii na jonizację jest sumą przypadkowych strat w zderzeniach z pojedynczymi elektronami ośrodka. Proces utraty energii jest więc procesem stochastycznym, w którym utrata energii podlega fluktuacjom. Fluktuacje te są szczególnie istotne przy przechodzeniu przez cienkie warstwy materiału, bądź w mediach rozrzedzonych (np. w gazach). Zmienność rzeczywistych strat energii opisywana jest zwykle rozkładem Landaua.

Zależność jonizacji od prędkości[edytuj | edytuj kod]

Dla powolnych cząstek dominujący jest czynnik 1/\beta^2 przed nawiasem. Oznacza to, że straty energii maleją szybko z rosnącą prędkością cząstki.

Dla szybkich cząstek \beta^2\approx 1 i dominujący staje się logarytmiczny wzrost z prędkością czynnika w nawiasie kwadratowym. Straty energii rosną więc powoli ze wzrostem prędkości (energii) cząstki.

Minimum funkcji opisywanej Wzorem Bethego leży w przybliżeniu przy \beta\gamma=3. Cząstkę o prędkości spełniającej ten związek nazywamy cząstką minimalnej jonizacji. W praktyce, ponieważ wzrost jonizacji z prędkością jest bardzo powolny, mianem cząstek minimalnej jonizacji określa się często cząstki powyżej tej granicy, aż do energii, przy której istotne stają się radiacyjne straty energii (patrz poniżej).

Zakres stosowalności[edytuj | edytuj kod]

Wzór Bethego-Blocha podaje z dobrą dokładnością (rzędu 1%) straty energii cząstek "umiarkowanie relatywistycznych", o pędzie pomiędzy około 0,05 a 100 m_0c. Dla cząstek bardzo powolnych konieczne staje się wprowadzenie poprawek związanych m.in. z faktem, że część elektronów jest znacznie silniej związana z jądrem, niż średni potencjał jonizacji. Dla bardzo wysokich energii istotne stają się poprawki radiacyjne. Wzór nie stosuje się do elektronów, które silnie tracą energię przez promieniowanie hamowania.

Nazwa[edytuj | edytuj kod]

Powyższy wzór został wyprowadzony przez Hansa Bethego i powinien być poprawnie nazywany wzorem Bethego. Felix Bloch dostarczył następującego przybliżonego wyrażenia na średnią energię jonizacji I atomu ośrodka, użytą przez Bethego w opublikowanym przez niego wyrażeniu.

 I=(10\,\mathrm{eV})\cdot Z

Obecnie najczęściej przedstawia się wzór Bethego formie przedstawionej powyżej, używając tablicowych wartości I, zamiast przybliżenia Blocha. Mimo to nazwa wzór Bethego-Blocha utarła się na tyle, że jest nadal powszechnie używana.


Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Przypisy