Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Wzór Blacka-Scholesa to podstawowy wzór wyceny optymalnej ceny opcji na kupno akcji lub towarów na giełdzie .
Niech:
C
{\displaystyle C}
S
{\displaystyle S}
X
{\displaystyle X}
T
{\displaystyle T}
r
{\displaystyle r}
Φ
(
…
)
{\displaystyle \Phi (\dots )}
dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego ,
σ
{\displaystyle \sigma }
volatility ).
C
=
S
Φ
(
ln
S
X
+
(
r
+
σ
2
2
)
T
σ
T
)
−
X
e
−
r
T
Φ
(
ln
S
X
+
(
r
−
σ
2
2
)
T
σ
T
)
.
{\displaystyle C=S\Phi \left({\frac {\ln {\frac {S}{X}}+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)-Xe^{-rT}\Phi \left({\frac {\ln {\frac {S}{X}}+\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right).}
P
{\displaystyle P}
P
=
X
e
−
r
T
Φ
(
−
ln
S
X
−
(
r
−
σ
2
2
)
T
σ
T
)
−
S
Φ
(
−
ln
S
X
−
(
r
+
σ
2
2
)
T
σ
T
)
.
{\displaystyle P=Xe^{-rT}\Phi \left({\frac {-\ln {\frac {S}{X}}-\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)-S\Phi \left({\frac {-\ln {\frac {S}{X}}-\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right).}
Uzasadnienie na przykładzie europejskiej opcji kupna – analogicznie dla innych rodzajów opcji.
W chwili, w której możemy wykorzystać opcję, objęty nią walor będzie miał pewną ceną rynkową. Jeśli cena zawarta w opcji jest korzystniejsza od rynkowej, zrealizujemy opcję i nasz zysk z tej operacji będzie równy różnicy między ceną oferowaną a ceną rynkową. Jeśli cena oferowana jest mniej korzystna, opcji oczywiście nie zrealizujemy.
Cena rynkowa w chwili realizacji
S
T
{\displaystyle S_{T}}
E
(
S
T
−
X
)
+
=
∫
X
+
∞
(
S
T
−
X
)
P
(
S
T
)
d
S
T
.
{\displaystyle E\left(S_{T}-X\right)^{+}=\int \limits _{X}^{+\infty }(S_{T}-X)P(S_{T})dS_{T}.}
Ponieważ pieniądze te dostać możemy dopiero po upływie ustalonego czasu, musimy przyjąć odpowiednią poprawkę. Ponieważ 1 jednostka monetarna zainwestowana w inwestycje pozbawione ryzyka po upływie czasu
T
{\displaystyle T}
e
r
T
,
{\displaystyle e^{rT},}
e
r
T
{\displaystyle e^{rT}}
C
=
e
−
r
T
∫
X
+
∞
(
S
T
−
X
)
P
(
S
T
)
d
S
T
=
e
−
r
T
(
∫
X
+
∞
S
T
P
(
S
T
)
d
S
T
−
∫
X
+
∞
X
P
(
S
T
)
d
S
T
)
,
{\displaystyle C=e^{-rT}\int \limits _{X}^{+\infty }(S_{T}-X)P(S_{T})dS_{T}=e^{-rT}\left(\int \limits _{X}^{+\infty }S_{T}P(S_{T})dS_{T}-\int \limits _{X}^{+\infty }XP(S_{T})dS_{T}\right),}
gdzie
S
T
{\displaystyle S_{T}}
T
{\displaystyle T}
Logarytm relatywnej zmiany ceny w jednostce czasu
Y
k
=
ln
S
k
+
1
S
k
{\displaystyle Y_{k}=\ln {\frac {S_{k+1}}{S_{k}}}}
jest zmienną losową o rozkładzie, z dobrym przybliżeniem, normalnym, o odchyleniu standardowym równym
σ
{\displaystyle \sigma }
N
(
r
,
σ
2
)
.
{\displaystyle N(r,\sigma ^{2}).}
Tak więc
S
T
=
S
0
×
e
ln
S
1
S
0
×
e
ln
S
2
S
1
×
…
×
e
ln
S
T
S
T
−
1
=
S
0
e
Y
0
+
…
+
Y
T
−
1
=
S
0
e
Y
,
{\displaystyle S_{T}=S_{0}\times e^{\ln {\frac {S_{1}}{S_{0}}}}\times e^{\ln {\frac {S_{2}}{S_{1}}}}\times \ldots \times e^{\ln {\frac {S_{T}}{S_{T-1}}}}=S_{0}e^{Y_{0}+\ldots +Y_{T-1}}=S_{0}e^{Y},}
gdzie
Y
{\displaystyle Y}
T
{\displaystyle T}
N
(
T
r
,
T
σ
2
)
{\displaystyle N(Tr,T\sigma ^{2})}
C
=
e
−
r
T
(
∫
S
T
>
X
S
T
P
(
S
T
)
d
S
T
−
X
∫
S
T
>
X
P
(
S
T
)
d
S
T
)
=
e
−
r
T
(
∫
S
0
e
Y
>
X
S
0
e
Y
P
(
Y
)
d
Y
−
X
∫
S
0
e
Y
>
X
P
(
Y
)
d
Y
)
=
e
−
r
T
(
∫
Y
>
ln
X
S
0
S
0
e
Y
P
(
Y
)
d
Y
−
X
∫
Y
>
ln
X
S
0
P
(
Y
)
d
Y
)
=
e
−
r
T
(
S
0
∫
ln
X
S
0
+
∞
e
Y
P
(
Y
)
d
Y
−
X
∫
ln
X
S
0
+
∞
P
(
Y
)
d
Y
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}C&=e^{-rT}\left(\int \limits _{S_{T}>X}S_{T}P(S_{T})dS_{T}-X\int \limits _{S_{T}>X}P(S_{T})dS_{T}\right)\\&=e^{-rT}\left(\int \limits _{S_{0}e^{Y}>X}S_{0}e^{Y}P(Y)dY-X\int \limits _{S_{0}e^{Y}>X}P(Y)dY\right)\\&=e^{-rT}\left(\int \limits _{Y>\ln {\frac {X}{S_{0}}}}S_{0}e^{Y}P(Y)dY-X\int \limits _{Y>\ln {\frac {X}{S_{0}}}}P(Y)dY\right)\\&=e^{-rT}\left(S_{0}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }e^{Y}P(Y)dY-X\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }P(Y)dY\right).\end{aligned}}}
Druga całka jest łatwa do policzenia – to dystrybuanta rozkładu normalnego o średniej
r
T
{\displaystyle rT}
σ
2
T
.
{\displaystyle \sigma ^{2}T.}
Y
{\displaystyle Y}
standaryzować , odejmując średnią
r
T
{\displaystyle rT}
σ
T
,
{\displaystyle \sigma {\sqrt {T}},}
C
=
S
0
e
−
r
T
∫
ln
X
S
0
+
∞
e
Y
P
N
(
r
T
,
σ
2
T
)
(
Y
)
d
Y
−
X
e
−
r
T
∫
ln
X
S
0
+
∞
P
N
(
r
T
,
σ
2
T
)
(
Y
)
d
Y
=
S
0
e
−
r
T
∫
ln
X
S
0
+
∞
e
Y
P
N
(
0
,
1
)
(
Y
−
r
T
σ
T
)
d
Y
−
X
e
−
r
T
∫
ln
X
S
0
+
∞
P
N
(
0
,
1
)
(
Y
−
r
T
σ
T
)
d
Y
.
{\displaystyle {\begin{aligned}C&=S_{0}e^{-rT}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }e^{Y}P_{N(rT,\sigma ^{2}T)}(Y)dY-Xe^{-rT}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }P_{N(rT,\sigma ^{2}T)}(Y)dY\\&=S_{0}e^{-rT}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }e^{Y}P_{N(0,1)}\left({\frac {Y-rT}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)dY-Xe^{-rT}\int \limits _{\ln {\frac {X}{S_{0}}}}^{+\infty }P_{N(0,1)}\left({\frac {Y-rT}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)dY.\end{aligned}}}
Przekształcając wyrażenie pod pierwszą całką:
e
Y
P
N
(
0
,
1
)
(
Y
−
r
T
σ
T
)
=
e
Y
1
2
π
e
1
2
(
Y
−
r
T
)
2
σ
2
T
=
1
2
π
e
1
2
(
Y
−
r
T
)
2
+
2
σ
2
T
Y
σ
2
T
.
{\displaystyle e^{Y}P_{N(0,1)}\left({\frac {Y-rT}{\sigma {\sqrt {T}}}}\right)=e^{Y}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{{\frac {1}{2}}{\frac {(Y-rT)^{2}}{\sigma ^{2}T}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{{\frac {1}{2}}{\frac {(Y-rT)^{2}+2\sigma ^{2}TY}{\sigma ^{2}T}}}.}
