Wzór Blacka-Scholesa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wzór Blacka-Scholesa to podstawowy wzór wyceny optymalnej ceny opcji na kupno akcji lub towarów na giełdzie.

Wzór Blacka-Scholesa dla europejskiej opcji kupna[edytuj | edytuj kod]

Niech:

– cena opcji kupna,
– aktualna cena instrumentu bazowego,
– cena rozliczenia opcji,
– termin wygaśnięcia opcji (liczony w latach),
– wysokość stopy procentowej wolnej od ryzyka dla terminu wygaśnięcia opcji (stawka wyrażona w skali roku),
dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego,
– współczynnik zmienności ceny instrumentu bazowego (ang. volatility).

Wzór Blacka-Scholesa dla europejskiej opcji sprzedaży[edytuj | edytuj kod]

– cena opcji sprzedaży

Uzasadnienie wzoru[edytuj | edytuj kod]

Uzasadnienie na przykładzie europejskiej opcji kupna – analogicznie dla innych rodzajów opcji.

W chwili, w której możemy wykorzystać opcję, objęty nią walor będzie miał pewną ceną rynkową. Jeśli cena zawarta w opcji jest korzystniejsza od rynkowej, zrealizujemy opcję i nasz zysk z tej operacji będzie równy różnicy między ceną oferowaną a ceną rynkową. Jeśli cena oferowana jest mniej korzystna, opcji oczywiście nie zrealizujemy.

Cena rynkowa w chwili realizacji jest pewną zmienną losową. Wartość oczekiwana zysku z realizacji opcji wynosi więc:

Ponieważ pieniądze te dostać możemy dopiero po upływie ustalonego czasu, musimy przyjąć odpowiednią poprawkę. Ponieważ 1 jednostka monetarna zainwestowana w inwestycje pozbawione ryzyka po upływie czasu jest warta wartość opcji jest razy mniejsza od spodziewanego zysku:

gdzie – cena akcji w chwili – jest zmienną losową.

Logarytm relatywnej zmiany ceny w jednostce czasu

jest zmienną losową o rozkładzie, z dobrym przybliżeniem, normalnym, o odchyleniu standardowym równym i średniej równej średniej stopie zwrotu z inwestycji na rynku –

Tak więc

gdzie jest sumą niezależnych zmiennych losowych o identycznym rozkładzie w przybliżeniu normalnym, tak więc ma rozkład

Druga całka jest łatwa do policzenia – to dystrybuanta rozkładu normalnego o średniej i wariancji Musimy jednak przekształcić pierwszą do wygodniejszej postaci.

możemy standaryzować, odejmując średnią i dzieląc przez odchylenie standardowe w wyniku czego otrzymujemy zmienną o standardowym rozkładzie normalnym.

Przekształcając wyrażenie pod pierwszą całką:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]