Przejdź do zawartości

Wzór Eulera-Maclaurina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Colin Maclaurin, jeden z odkrywców wzoru

Wzór Eulera-Maclaurina – wzór dający silne połączenie między całkami (zobacz rachunek różniczkowy i całkowy) a sumami. Może być użyty do przybliżania całek przez skończone sumy lub odwrotnie, do szacowania skończonych sum i nieskończonych szeregów przez całki. Wzór został odkryty niezależnie przez Leonharda Eulera i Colina Maclaurina około 1735. Euler potrzebował go do obliczenia wolno zbiegających nieskończonych szeregów, podczas gdy Maclaurin wykorzystał go do przybliżonego obliczania całek.

Jeśli jest liczbą naturalną i jest gładką (tzn. wystarczająco wiele razy różniczkowalną) funkcją określoną dla wszystkich liczb rzeczywistych pomiędzy 0 i wtedy całka

może być przybliżona przez sumę (zob. wzór trapezów)

Wzór Eulera-Maclaurina pozwala wyrażać różnicę pomiędzy sumą a całką za pomocą wartości wyższych pochodnych na brzegach przedziału Dla każdej liczby naturalnej mamy

gdzie liczbami Bernoulliego, zaś jest błędem przybliżenia. Wartość błędu może być oszacowana jako

Przy odpowiednich założeniach na funkcję powyższa wielkość dąży do zera, gdy dąży do nieskończoności. Wykonując odpowiednie podstawienie, można zapisać powyższy wzór również dla funkcji zdefiniowanych na innych przedziałach.

Jeśli jest wielomianem oraz jest wystarczająco duże, to wyraz reszty znika. Np. jeśli możemy podstawić by otrzymać (po uproszczeniu)

Dla funkcji formuła Eulera-Maclaurina może być użyta do wyliczenia precyzyjnego oszacowania błędu we wzorze Stirlinga przybliżającym wartość silni.

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]