Wzór Larmora

Antena Yagi-Uda. Fale radiowe są emitowane z anteny poprzez przyspieszenie elektronów w tejże antenie. W tym koherentnym zjawisku całkowita moc wypromieniowana jest wprost proporcjonalna do kwadratu ilości przyspieszanych elektronów.

Wzór Larmora – wzór określający całkowitą moc wypromieniowaną przez nierelatywistyczny punkt posiadający ładunek elektryczny, kiedy przyspiesza bądź zwalnia. Znajduje zastosowanie w dziedzinie fizyki zwanej elektrodynamiką; nie dotyczy natomiast innego zjawiska nazwanego od tego samego uczonego, precesji Larmora w zjawisku klasycznego rezonansu magnetycznego. Wzór ten został wprowadzony po raz pierwszy przez J.J. Larmora w 1897 roku w kontekście teorii falowej natury światła.

Kiedy naładowana cząstka (przykładowo elektron bądź proton) przyspiesza, emituje energię w postaci fali elektromagnetycznej. Dla prędkości, które są małe w stosunku do prędkości światła, całkowitą wypromieniowaną moc określa wzór Larmora:

$P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\quad {}$ (w jednostkach SI),

$P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}\quad {}$ (w jednostkach cgs),

gdzie:

• $a$ – przyspieszenie cząstki,
• $q$ – ładunek elektryczny cząsteczki,
• $c$ – prędkość światła w próżni.

Relatywistyczne uogólnienie jest opisane przez potencjał Liénarda-Wiecherta.

W każdym systemie jednostkowym, moc wypromieniowana przez pojedynczy elektron może zostać wyrażona w dziedzinie promienia i masy elektronu jako:

$P={\frac {2}{3}}{\frac {m_{e}r_{e}a^{2}}{c}}.$

Wyprowadzenie

Najpierw należy wprowadzić formułę pola elektrycznego i magnetycznego:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=q\left({\frac {\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }}}{\gamma ^{2}(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R^{2}}}\right)_{\mathrm {ret} }+{\frac {q}{c}}\left({\frac {\mathbf {n} \times [(\mathbf {n} -{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}]}{(1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {n} )^{3}R}}\right)_{\mathrm {ret} }$

oraz

$\mathbf {B} =\mathbf {n} \times \mathbf {E} ,$

gdzie:

• ${\boldsymbol {\beta }}$ – prędkość podzielona przez c,
• ${\dot {\boldsymbol {\beta }}}$ – przyspieszenie podzielone przez c,
• $\mathbf {n}$ – wektor jednostkowy o kierunku takim jak kierunek wektora $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0},$
• $R$ = $\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}$
• $\mathbf {r} _{0}$ – miejsce ładunku,
• $\gamma =(1-\beta ^{2})^{-1/2}.$

Wielkości po prawej stronie zależności są określane w czasie opóźnionym o czas dotarcia fali do określonego miejsca równy:

$t_{\text{r}}=t-R/c.$

Po prawej stronie równania jest suma pola elektrycznego związanego z prędkością i przyspieszeniem naładowanej cząstki. Pole prędkości zależy tylko od ${\boldsymbol {\beta }},$ a pole przyspieszenia zależy od obu ${\boldsymbol {\beta }}$ i ${\dot {\boldsymbol {\beta }}}$ oraz kąta między nimi. Ponieważ pole prędkości jest proporcjonalne do $R^{-2},$ więc maleje bardzo szybko wraz ze wzrostem odległości. Z drugiej strony pole przyspieszenia jest proporcjonalne do $R{-1},$ co oznacza, że maleje znacznie wolniej ze wzrostem odległości.

Można znaleźć gęstość strumienia energii pola promieniowania, obliczając jego wektor Poyntinga:

$\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} _{\text{a}}\times \mathbf {B} _{\text{a}},$

gdzie indeksy „a” podkreślają, że bierzemy tylko pole przyspieszenia. Podstawienie do wzoru zależności między polem magnetycznym i elektrycznym przy założeniu, że cząsteczka natychmiast spoczywa w czasie $t_{\text{r}},$ w uproszczeniu daje:

$\mathbf {S} ={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {\mathbf {n} \times (\mathbf {n} \times {\dot {\boldsymbol {\beta }}})}{R}}\right|^{2}\mathbf {n} .$

Jeśli kąt między przyspieszeniem a wektorem obserwacyjnym oznaczy się przez $\theta$ i wprowadzi przyspieszenie $\mathbf {a} ={\dot {\boldsymbol {\beta }}}c,$ wtedy moc emitowana na jednostkę kąta bryłowego jest równa:

${\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}{\frac {\sin ^{2}(\theta )\,a^{2}}{c^{2}}}.$

Całkowitą moc promieniowania można uzyskać poprzez całkowanie tej wartości po wszystkich kątach, daje nam to formułę całkowitą wzoru Larmora:

$P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}a^{2}}{c^{3}}}.$

Bibliografia

• J. Larmor, On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium, „Philosophical Transactions of the Royal Society” 190, (1897) s. 205–300