Wzór Möbiusa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wzór Möbiusa – w matematyce to twierdzenie wiążące funkcje arytmetyczne z funkcją Möbiusa. Został on odkryty w XIX wieku przez Augusta Möbiusa.

Postać wzoru[edytuj kod]

Wzór Möbiusa mówi, że dla dowolnych funkcji arytmetycznych f i g następujące wzory są równoważne:

,

gdzie jest funkcją Möbiusa.

Dowód[edytuj kod]

Oznaczmy przez I funkcję tożsamościowo równą 1, a przez * splot Dirichleta. Przekształcając równoważnie pierwszy wzór mamy: , a ponieważ , gdzie jest elementem neutralnym splotu Dirichleta, to . Zatem dwa pierwsze wzory są równoważne.

Załóżmy teraz, że pierwszy wzór zachodzi. Mamy zatem:

,

a ponieważ ilość liczb n spełniających warunek prawej strony równości wynosi , to otrzymujemy trzeci wzór.

Jeśli z kolei zachodzi trzeci wzór, to przeprowadzając rozważania odwrotnie otrzymujemy

oraz

,

a po odjęciu stronami otrzymujemy pierwszy wzór.

Zobacz też[edytuj kod]

Bibliografia[edytuj kod]

  • W. Narkiewicz, Teoria liczb, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977.