Wzór Picka

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ilustracja wzoru Picka

Wzór Picka – praktyczny wzór na obliczanie pola powierzchni wielokąta prostego, którego wierzchołki znajdują się w punktach regularnej kwadratowej sieci na płaszczyźnie. Zgodnie z tym wzorem pole wielokąta jest równe:

gdzie oznacza liczbę punktów kraty leżących wewnątrz wielokąta, a oznacza liczbę punktów kraty leżących na brzegu wielokąta.

Dla wielokąta na rysunku obok mamy: i ze wzoru Picka

Powyższy wzór jest prawdziwy jedynie dla wielokątów prostych (złożonych z jednego kawałka i bez dziur).

Twierdzenie to zostało po raz pierwszy opisane przez Georga Alexandra Picka w 1899. Można je uogólnić na przestrzeń trzy i więcej wymiarową przez wielomiany Ehrharta. Wzór można też uogólnić na powierzchnie wielościanów.

Uogólnienie dla wielokątów złożonych z trójkątów pierwotnych[edytuj]

Trójkątem pierwotnym będziemy nazywać trójkąt, którego wierzchołki leżą w punktach kratowych i nie ma żadnych innych punktów kratowych. Ze wzoru Picka wynika, że ma on pole .

Rozważmy wielokąt , który ma triangulację na trójkąty pierwotne. Oznaczmy przez liczbę wierzchołków w triangulacji, liczbę krawędzi triangulacji, liczbę krawędzi brzegowych triangulacji, a liczbę ścian triangulacji.

Zliczając krawędzie ścian triangulacji na dwa sposoby otrzymujemy równość .

gdzie oznacza charakterystykę Eulera, a brzeg figury .

Wzór ten jest prawidłowy w szczególności dla wielokątów prostych, ponieważ dla nich charakterystyka Eulera jest równa , a charakterystyka brzegu .

Linki zewnętrzne[edytuj]