Wzór Wallisa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wzór Wallisa - rozwinięcie liczby π w iloczyn nieskończony uzyskane w roku 1655 przez Johna Wallisa. Historycznie wzór Wallisa był jednym z pierwszych przedstawień liczby π w postaci granicy ciągu liczb wymiernych, które było stosunkowo proste do wyliczenia. Dziś wzór ten ma znaczenie raczej historyczne ponieważ istnieją rozwinięcia liczby π pozwalające na przybliżone obliczanie wartości tej liczby "szybciej zbieżne". Wzór Wallisa ma postać:

Wyprowadzenie[edytuj]

Pierwiastki funkcji są postaci , gdzie jest liczbą całkowitą. Postępując a priori analogicznie jak w teorii wielomianów, funkcję tę przedstawia się jako nieskończony iloczyn czynników dwumiennych:

,

gdzie jest pewną stałą. Aby znaleźć granicę zauważamy, że

Korzystając z faktu, iż:

otrzymujemy . Następnie otrzymujemy wzór Eulera-Wallisa dla funkcji sinus:

Podstawiając

.

Ostatecznie:

.

Podstawiając w równaniu przybliżenie Stirlinga zarówno dla k! jak i dla 2k! można, po krótkich obliczeniach, zauważyć, że pk zbiega do π/2 przy k → ∞.

Wykres iloczynów częściowych[edytuj]

Wallis product-chart.png

Bibliografia[edytuj]