Wzór de Moivre’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wzór de Moivre'a jest wzorem na n-tą potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej.

Jeżeli oraz jest całkowite, to

.

Wzór daje się łatwo uogólnić na potęgi o wykładniku będącym odwrotnością liczby naturalnej (analogon pierwiastkowania):

Wzór ten odkrył i opublikował Abraham de Moivre.[1]

Dowód indukcyjny dla liczb naturalnych[edytuj]

Założenie[edytuj]

Dla wzór jest prawdziwy, ponieważ jest to typowa postać liczby zespolonej.
Dla .

Teza[edytuj]

Dla , mamy

Dowód[edytuj]

Uwagi[edytuj]

Zespolony pierwiastek n-tego stopnia z 1-ki[edytuj]

Warto zwrócić uwagę, że

Interpretacja w przestrzeni fazowej[edytuj]

Jeżeli liczbę zespoloną "z" zinterpretujemy jako wektor w przestrzeni fazowej , to jest zbiorem n wektorów, których końce są rozłożone równomiernie (co kąt ) na okręgu o środku w punkcie .

Przypisy

  1. mcs.st-andrews.ac.uk: Abraham de Moivre - Biografia (ang.).

Zobacz też[edytuj]