Wzór de Moivre’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wzór de Moivre’a – wzór na n-tą potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej.

Jeżeli oraz jest całkowite, to[1]:

.

Wzór daje się łatwo uogólnić na potęgi o wykładniku będącym odwrotnością liczby naturalnej (analogon pierwiastkowania):

Wzór ten opracował i opublikował Abraham de Moivre w I połowie XVIII wieku[2]. Na początku XIX stulecia upowszechniło się nazywanie tego wzoru od jego nazwiska[3].

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Dla wzór jest oczywisty.

Niech wzór jest prawdziwy dla tzn.

Wówczas dla dostaniemy

Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej wzór zachodzi dla każdego naturalnego

Z kolei dla ujemnych liczb całkowitych:

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Zespolony pierwiastek n-tego stopnia z 1[edytuj | edytuj kod]

Należy zwrócić uwagę, że

Interpretacja w przestrzeni fazowej[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli liczbę zespoloną zinterpretuje się jako wektor w przestrzeni fazowej to jest zbiorem wektorów, których końce są rozłożone równomiernie (co kąt ) na okręgu o środku w punkcie

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. liczby zespolone, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-10].
  2. mcs.st-andrews.ac.uk: Abraham de Moivre - Biografia (ang.).
  3. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Jeff Miller, De Moivre’s theorem [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (D) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-02-18].