Przejdź do zawartości

Wzór de Moivre’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Abraham de Moivre

Wzór de Moivre’a – wzór na potęgę liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej, tj. w postaci

(1) Jeżeli jest liczbą całkowitą, to n-tą potęgę liczby z określa wzór[1]:

(2) Jeżeli wykładnik potęgi jest odwrotnością liczby naturalnej, postaci 1/n, to obliczanie potęgi oznacza obliczanie pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej (analogicznie jak dla liczb rzeczywistych), przy czym w dziedzinie liczb zespolonych każda liczba z ma n pierwiastków stopnia n-tego. Określa je wzór:

.

Wzór ten opracował i opublikował Abraham de Moivre w I połowie XVIII wieku[2]. Na początku XIX stulecia upowszechniło się nazywanie tego wzoru od jego nazwiska[3].

Postacie wykładnicze wzorów de Moivre’a

[edytuj | edytuj kod]

W zapisie wykładniczym powyższe wzory mają postacie:

- postać wykładnicza liczby zespolonej,
- potęga n-ta liczby zespolonej,
- pierwiastki n-te liczby zespolonej.

Dowód

[edytuj | edytuj kod]

Dla wzór jest oczywisty.

Niech wzór jest prawdziwy dla tzn.

Wówczas dla dostaniemy

Stąd na mocy zasady indukcji matematycznej wzór zachodzi dla każdego naturalnego

Z kolei dla ujemnych liczb całkowitych:

Zespolony pierwiastek n-tego stopnia z 1

[edytuj | edytuj kod]

Liczba 1 ma w dziedzinie liczb zespolonych n pierwiastków stopnia n-tego

Interpretacja pierwiastków zespolonych w płaszczyźnie zespolonej

[edytuj | edytuj kod]
Pierwiastki 5-tego stopnia z 1 na płaszczyźnie zespolonej

Jeżeli liczbę zespoloną zinterpretuje się jako wektor na płaszczyźnie zespolonej, to pierwiastek n-tego stopnia z liczby jest zbiorem wektorów, których końce są rozłożone równomiernie co kąt na okręgu o środku w punkcie i promieniu , przy czym pierwszy wektor jest nachylony do osi rzeczywistej pod katem .

Np. Pierwiastki 5-tego stopnia z liczby układają się na okręgu o promieniu , , (gdyż , ).

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. liczby zespolone, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-10].
  2. mcs.st-andrews.ac.uk: Abraham de Moivre – Biografia. (ang.).
  3. publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Jeff Miller, De Moivre’s theorem, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (D) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-02-18].