Wzory Cramera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wzory Crameratwierdzenie określające postać rozwiązań oznaczonego układu równań liniowych o współczynnikach z ustalonego ciała (np. liczb rzeczywistych). Sformułowane zostało przez szwajcarskiego matematyka Gabriela Cramera w 1750 roku.

Z twierdzenia tego można wyprowadzić twierdzenie Cayleya-Hamiltona w algebrze liniowej oraz lemat Nakayamy będący ważnym wynikiem teorii pierścieni przemiennych. W programowaniu całkowitoliczbowym twierdzenie to można wykorzystać do dowiedzenia, iż zadanie tego rodzaju z macierzą całkowicie unimodularną i całkowitymi współczynnikami wektora wyrazów wolnych ma całkowitoliczbowe rozwiązania bazowe, co znacząco upraszcza rozwiązywanie takich zadań. Wzory Cramera wykorzystuje się do otrzymania rozwiązania ogólnego niejednorodnego równania różniczkowego liniowego metodą uzmienniania stałych. W geometrii różniczkowej wykorzystuje się je (zwykle niejawnie) stosując twierdzenie o funkcji uwikłanej (zob. Pochodne funkcji uwikłanych).

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie układ równań liniowych

gdzie oraz

Jeśli wyznacznik to układ jest

  • oznaczony (ma jedno i tylko jedno rozwiązanie) dane wzorami:

W przeciwnym przypadku, gdy układ jest

  • sprzeczny (nie ma rozwiązań), gdy
    choć jeden wyznacznik we wzorach Cramera zawierający jest różny od zera;
  • nieoznaczony (ma więcej niż jedno rozwiązanie) lub sprzeczny, gdy
    wszystkie wyznaczniki we wzorach Cramera zawierające są równe zeru.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Lemat[edytuj | edytuj kod]

Układ jest oznaczony (tzn. ma dokładnie jedno rozwiązanie) wtedy i tylko wtedy, gdy ma on niezerowy wyznacznik.

Konieczność
Dowód nie wprost. Jeśli to układ jest liniowo zależny, zatem istnieje niezerowy wektor dla którego
co oznacza, że
czyli wektor jest jeszcze jednym, różnym od rozwiązaniem danego układu.
Dostateczność
Niezerowy wyznacznik, pociąga liniową niezależność układu który tworzy wtedy bazę przestrzeni współrzędnych (tzw. przestrzeni kolumnowej, czyli przestrzeni współrzędnych wektorów kolumnowych); ponieważ jest wektorem tej przestrzeni, to ma on jednoznaczne przedstawienie
w tej bazie, zatem jest wówczas jedynym rozwiązaniem danego układu (wynika to wprost z twierdzenia o rzędzie).

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Na mocy lematu: jeśli układ jest oznaczony, to istnieje dokładnie jeden wektor który spełniałby

zatem na mocy liniowości wyznacznika względem każdej współrzędnej zachodzi

zaś z jego alternacyjności (antysymetryczności) wynika, że

skąd jest

Pozostałe współrzędne wektora otrzymuje się analogicznie.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Układy małych stopni[edytuj | edytuj kod]

Układ równań

zapisany w postaci macierzowej ma postać

Jego rozwiązania mają wtedy postać

oraz

Przypadek układu trzech równań z trzema niewiadomymi jest analogiczny: układ postaci

zapisuje się w postaci macierzowej jako

a jego rozwiązaniami są wtedy

Pochodne funkcji uwikłanych[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: funkcja uwikłana.

Niech dane będą dwa równania oraz Jeśli oraz są zmiennymi niezależnymi, to bywa, że oraz dają wyrazić jako oraz Wówczas wzory Cramera umożliwiają znalezienie równania opisującego

Mając na celu wyznaczenie wspomnianej pochodnej, należy w pierwszej kolejności obliczyć pochodne oraz za pomocą których zostanie ona wyrażona:

Podstawiając oraz do równań na oraz otrzymuje się:

Ponieważ i są niezależne, to współczynniki przy i muszą być zerami; oznacza to, że powyższe równania można zapisać jako równania na współczynniki:

Ze wzorów Cramera wynika teraz

czyli szukaną pochodną można wyrazić w postaci ilorazu dwóch jakobianów.

Podobne wzory można wyprowadzić dla

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]