Wzory Cramera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wzory Crameratwierdzenie określające postać rozwiązań oznaczonego układu równań liniowych o współczynnikach z ustalonego ciała (np. liczb rzeczywistych). Sformułowane zostało przez szwajcarskiego matematyka Gabriela Cramera w 1750 roku.

Z twierdzenia tego można wyprowadzić twierdzenie Cayleya-Hamiltona w algebrze liniowej oraz lemat Nakayamy będący ważnym wynikiem teorii pierścieni przemiennych. W programowaniu całkowitoliczbowym twierdzenie to można wykorzystać do dowiedzenia, iż zadanie tego rodzaju z macierzą całkowicie unimodularną i całkowitymi współczynnikami wektora wyrazów wolnych ma całkowitoliczbowe rozwiązania bazowe, co znacząco upraszcza rozwiązywanie takich zadań. Wzory Cramera wykorzystuje się do otrzymania rozwiązania ogólnego niejednorodnego równania różniczkowego liniowego metodą uzmienniania stałych. W geometrii różniczkowej wykorzystuje się je (zwykle niejawnie) stosując twierdzenie o funkcji uwikłanej.

Twierdzenie[edytuj]

Niech

będzie dany układem Cramera tj. układem równań liniowych z kwadratową macierzą układu stopnia , dla której .

Niech

będzie postacią wektorową tego układu, gdzie kolejnymi kolumnami macierzy są wektory a wektorami kolumnowymi są wektory oraz

Wówczas układ ma dokładnie jedno rozwiązanie zadane wzorami:

Wyznacznik macierzy jest równy wyznacznikowi układu wektorów

Uwagi

Powyższe wyznaczniki zawierające wektor w przypadku macierzowym otrzymuje się zamieniając odpowiednią kolumnę macierzy za pomocą (jedynej) kolumny macierzy (zob. Przykłady). Równoważność między obiema postaciami wynika z rozwinięcia Laplace'a wyznacznika względem kolejnych kolumn.

Gdyby , to:

  • układ byłby sprzeczny (nie miałby rozwiązań), gdy choć jeden wyznacznik we wzorach Cramera zawierający jest różny od zera;
  • układ byłby nieoznaczony(miałby więcej rozwiązań) lub sprzeczny, gdy wszystkie wyznaczniki we wzorach Cramera zawierające są równe zeru.

Dowód[edytuj]

Lemat[edytuj]

Układ jest oznaczony (tzn. ma dokładnie jedno rozwiązanie) wtedy i tylko wtedy, gdy macierz główna układu jest nieosobliwa, tj. ma niezerowy wyznacznik.

Konieczność
Dowód nie wprost. Jeśli to układ jest liniowo zależny, zatem istnieje niezerowy wektor dla którego
co oznacza, że
czyli wektor jest jeszcze jednym, różnym od rozwiązaniem danego układu.
Dostateczność
Nieosobliwość macierzy tzn. pociąga liniową niezależność układu który tworzy wtedy bazę przestrzeni współrzędnych (tzw. przestrzeni kolumnowej, czyli przestrzeni współrzędnych wektorów kolumnowych); ponieważ jest wektorem tej przestrzeni, to ma on jednoznaczne przedstawienie
w tej bazie, zatem jest wówczas jedynym rozwiązaniem danego układu (wynika to wprost z twierdzenia o rzędzie).

Dowód[edytuj]

Na mocy lematu: jeśli układ jest oznaczony, to istnieje dokładnie jeden wektor który spełniałby

zatem na mocy liniowości wyznacznika względem każdej współrzędnej zachodzi

zaś z jego alternacyjności (antysymetryczności) wynika, że

skąd jest

Pozostałe współrzędne wektora otrzymuje się analogicznie.

Przykłady[edytuj]

Układ równań

zapisany w postaci macierzowej ma postać

Jego rozwiązania mają wtedy postać

oraz

Przypadek układu trzech równań z trzema niewiadomymi jest analogiczny: układ postaci

zapisuje się w postaci macierzowej jako

a jego rozwiązaniami są wtedy

Bibliografia[edytuj]