Wzory Cramera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wzory Crameratwierdzenie określające postać rozwiązań oznaczonego układu równań liniowych o współczynnikach z ustalonego ciała (np. liczb rzeczywistych). Sformułowane zostało przez szwajcarskiego matematyka Gabriela Cramera w 1750 roku.

Z twierdzenia tego można wyprowadzić twierdzenie Cayleya-Hamiltona w algebrze liniowej oraz lemat Nakayamy będący ważnym wynikiem teorii pierścieni przemiennych. W programowaniu całkowitoliczbowym twierdzenie to można wykorzystać do dowiedzenia, iż zadanie tego rodzaju z macierzą całkowicie unimodularną i całkowitymi współczynnikami wektora wyrazów wolnych ma całkowitoliczbowe rozwiązania bazowe, co znacząco upraszcza rozwiązywanie takich zadań. Wzory Cramera wykorzystuje się do otrzymania rozwiązania ogólnego niejednorodnego równania różniczkowego liniowego metodą uzmienniania stałych. W geometrii różniczkowej wykorzystuje się je (zwykle niejawnie) stosując twierdzenie o funkcji uwikłanej.

Twierdzenie[edytuj]

Niech

 \mathbf{A{\color{RoyalPurple} X}} = \color{Maroon} \mathbf B

będzie dany układem Cramera tj. układem równań liniowych z kwadratową macierzą układu stopnia  n, dla której  \det \mathbf A \ne 0,.

Niech

{\color{RoyalPurple} x_1} \mathbf a_1 + \dots + {\color{RoyalPurple} x_n} \mathbf a_n = {\color{Maroon} \mathbf b}.

będzie postacią wektorową tego układu, gdzie kolejnymi kolumnami macierzy \scriptstyle \mathbf A są wektory \scriptstyle \mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n, a wektorami kolumnowymi \scriptstyle {\color{RoyalPurple} \mathbf X}, \color{Maroon} \mathbf B są wektory \scriptstyle {\color{RoyalPurple} \mathbf x} = ({\color{RoyalPurple} x_1}, \dots, {\color{RoyalPurple} x_n}) oraz \scriptstyle {\color{Maroon} \mathbf b} = ({\color{Maroon} b_1}, \dots, {\color{Maroon} b_n}).

Wówczas układ ma dokładnie jedno rozwiązanie zadane wzorami:

{\color{RoyalPurple} x_1} = \frac{\det({\color{Maroon} \mathbf b},\; \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n)}{\det(\mathbf a_1, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n)},
\vdots
{\color{RoyalPurple} x_n} = \frac{\det(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_{n-1},\; {\color{Maroon} \mathbf b})}{\det(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_{n-1}, \mathbf a_n)}.

Wyznacznik \scriptstyle \det \mathbf A macierzy \scriptstyle \mathbf A jest równy wyznacznikowi \scriptstyle \det(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n) układu wektorów \scriptstyle \mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n.

Uwagi

Powyższe wyznaczniki zawierające wektor \scriptstyle \color{Maroon} \mathbf b w przypadku macierzowym otrzymuje się zamieniając odpowiednią kolumnę macierzy \scriptstyle \mathbf A za pomocą (jedynej) kolumny macierzy \scriptstyle \color{Maroon} \mathbf B (zob. Przykłady). Równoważność między obiema postaciami wynika z rozwinięcia Laplace'a wyznacznika względem kolejnych kolumn.

Gdyby \scriptstyle \det \mathbf A = 0, to:

  • układ byłby sprzeczny (nie miałby rozwiązań), gdy choć jeden wyznacznik we wzorach Cramera zawierający \scriptstyle \color{Maroon} \mathbf b jest różny od zera;
  • układ byłby nieoznaczony(miałby więcej rozwiązań) lub sprzeczny, gdy wszystkie wyznaczniki we wzorach Cramera zawierające \scriptstyle \color{Maroon} \mathbf b są równe zeru.

Dowód[edytuj]

Lemat[edytuj]

Układ jest oznaczony (tzn. ma dokładnie jedno rozwiązanie) wtedy i tylko wtedy, gdy macierz główna \scriptstyle \mathbf A = [\mathbf a_1 \dots \mathbf a_n] układu jest nieosobliwa, tj. ma niezerowy wyznacznik.

Konieczność
Dowód nie wprost. Jeśli \scriptstyle \det(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n) = 0, to układ \scriptstyle \mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n jest liniowo zależny, zatem istnieje niezerowy wektor \scriptstyle y = (y_1, \dots, y_n), dla którego
y_1 \mathbf a_1 + \dots + y_n \mathbf a_n = \mathbf 0,
co oznacza, że
({\color{RoyalPurple} x_1} + y_1) \mathbf a_1 + \dots + ({\color{RoyalPurple} x_n} + y_n) \mathbf a_n = \color{Maroon} \mathbf b,
czyli wektor \scriptstyle {\color{RoyalPurple} \mathbf x} + \mathbf y jest jeszcze jednym, różnym od \scriptstyle {\color{RoyalPurple} \mathbf x}, rozwiązaniem danego układu.
Dostateczność
Nieosobliwość macierzy \scriptstyle \mathbf A, tzn. \scriptstyle \det(\mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n) \ne 0, pociąga liniową niezależność układu \scriptstyle \mathbf a_1, \dots, \mathbf a_n, który tworzy wtedy bazę przestrzeni współrzędnych (tzw. przestrzeni kolumnowej, czyli przestrzeni współrzędnych wektorów kolumnowych); ponieważ \scriptstyle \color{Maroon} \mathbf b jest wektorem tej przestrzeni, to ma on jednoznaczne przedstawienie
{\color{RoyalPurple} x_1} \mathbf a_1 + \dots + {\color{RoyalPurple} x_n} \mathbf a_n = \color{Maroon} \mathbf b
w tej bazie, zatem \scriptstyle \color{RoyalPurple} \mathbf x jest wówczas jedynym rozwiązaniem danego układu (wynika to wprost z twierdzenia o rzędzie).

Dowód[edytuj]

Na mocy lematu: jeśli układ jest oznaczony, to istnieje dokładnie jeden wektor \scriptstyle {\color{RoyalPurple} \mathbf x}, który spełniałby

{\color{RoyalPurple} x_1} \mathbf a_1 + \dots + {\color{RoyalPurple} x_n} \mathbf a_n = {\color{Maroon} \mathbf b},

zatem na mocy liniowości wyznacznika względem każdej współrzędnej zachodzi

\det({\color{Maroon} \mathbf b}, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n) = \det\left(\sum_{i = 1}^n {\color{RoyalPurple} x_i} \mathbf a_i, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n\right) = \sum_{i = 1}^n {\color{RoyalPurple} x_i} \det(\mathbf a_i, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n),

zaś z jego alternacyjności (antysymetryczności) wynika, że

\det({\color{Maroon} \mathbf b}, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n) = {\color{RoyalPurple} x_1} \det(\mathbf a_1, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n),

skąd jest

{\color{RoyalPurple} x_1} = \frac{\det({\color{Maroon} \mathbf b},\; \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n)}{\det(\mathbf a_1, \mathbf a_2, \dots, \mathbf a_n)}.

Pozostałe współrzędne wektora \scriptstyle \color{RoyalPurple} \mathbf x otrzymuje się analogicznie.

Przykłady[edytuj]

Układ równań

\begin{cases} a{\color{RoyalPurple} x} + b{\color{RoyalPurple} y} = \color{Maroon} e \\ c{\color{RoyalPurple} x} + d{\color{RoyalPurple} y} = \color{Maroon} f \end{cases}

zapisany w postaci macierzowej ma postać

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \color{RoyalPurple} x \\ \color{RoyalPurple} y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color{Maroon}e  \\ \color{Maroon}f \end{bmatrix}.

Jego rozwiązania mają wtedy postać

{\color{RoyalPurple} x} = \begin{vmatrix} \color{Maroon} e & b \\ \color{Maroon} f & d \end{vmatrix} \Bigg/ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}  = \frac{{\color{Maroon}e}d - b{\color{Maroon}f}}{ad - bc}

oraz

{\color{RoyalPurple} y} = \begin{vmatrix} a & \color{Maroon} e \\ c & \color{Maroon} f \end{vmatrix} \Bigg/ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \frac{a{\color{Maroon}f} - {\color{Maroon}e}c}{ad - bc}.

Przypadek układu trzech równań z trzema niewiadomymi jest analogiczny: układ postaci

\begin{cases} a{\color{RoyalPurple} x} + b{\color{RoyalPurple} y} + c{\color{RoyalPurple} z} = \color{Maroon} j \\ d{\color{RoyalPurple} x} + e{\color{RoyalPurple} y} + f{\color{RoyalPurple} z} = \color{Maroon} k \\ g{\color{RoyalPurple} x} + h{\color{RoyalPurple} y} + i{\color{RoyalPurple} z} = \color{Maroon} l \end{cases}

zapisuje się w postaci macierzowej jako

\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \color{RoyalPurple} x \\ \color{RoyalPurple} y \\ \color{RoyalPurple} z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color{Maroon}j \\ \color{Maroon} k \\ \color{Maroon} l \end{bmatrix},

a jego rozwiązaniami są wtedy

{\color{RoyalPurple} x} = \frac{\begin{vmatrix} \color{Maroon} j & b & c \\ \color{Maroon} k & e & f \\ \color{Maroon} l & h & i \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}}, \quad {\color{RoyalPurple} y} = \frac{\begin{vmatrix} a & \color{Maroon}j & c \\ d & \color{Maroon} k & f \\ g & \color{Maroon} l & i \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}} \mbox{ oraz } {\color{RoyalPurple} z} = \frac{\begin{vmatrix} a & b & \color{Maroon} j \\ d & e & \color{Maroon} k \\ g & h & \color{Maroon} l \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}}.

Bibliografia[edytuj]