Wzory Viète’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wzory Viète’a – wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Ich nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka François Viète’a.

Wzory Viète’a[edytuj]

Niech będą pierwiastkami wielomianu o współczynnikach zespolonych (w szczególności także rzeczywistych). Wówczas prawdziwe są wzory

nazywane wzorami Viète’a.

Powyższe wzory są prawdziwe również dla wielomianów w dowolnym pierścieniu przemiennym, przy założeniu, że wielomian ten ma w nim pierwiastków.

Przykłady[edytuj]

Trójmian kwadratowy[edytuj]

W przypadku trójmianu kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych (lub ogólniej, zespolonych) wzory te przyjmują postać:

Wzory te są prawdziwe również, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego przy założeniu, że interesują nas zespolone pierwiastki trójmianu.

Wielomian stopnia trzeciego[edytuj]

Dla wielomianów stopnia trzeciego, postaci o pierwiastkach wzory te mają postać:

Dowód[edytuj]

Przypadek funkcji kwadratowej[edytuj]

Niech będą miejscami zerowymi funkcji kwadratowej Wówczas

Ponieważ dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy przy odpowiednich potęgach mają równe współczynniki, mamy:

a stąd wzory wspomniane wyżej.

Przypadek ogólny[edytuj]

Aby udowodnić wzory Viète’a, piszemy równość

(która jest prawdziwa, gdyż są wszystkimi pierwiastkami wielomianu), dokonujemy mnożenia po prawej stronie i przyrównujemy współczynniki. Otrzymujemy

czyli


Bibliografia[edytuj]

  • Bolesław Gleichgewicht: Algebra - podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych. Warszawa: PWN, 1976, s. 244.

Linki zewnętrzne[edytuj]