Wzory Viète’a

Wzory Viète’a – wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Ich nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka François Viète’a, który podał je w 1591 roku.

Wzory Viète’a

Niech $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ będą pierwiastkami wielomianu $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0},\;a_{n}\neq 0$ o współczynnikach zespolonych (w szczególności także rzeczywistych). Wówczas prawdziwe są wzory

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\x_{1}x_{2}+\ldots +x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+\ldots +x_{2}x_{n}+\ldots +x_{n-1}x_{n}={\tfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\\vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}$

nazywane wzorami Viète’a.

Powyższe wzory są prawdziwe również dla wielomianów w dowolnym pierścieniu przemiennym, przy założeniu, że wielomian ten ma w nim $n$ pierwiastków.

Przykłady

Wielomian liniowy

W przypadku wielomianu liniowego o współczynnikach rzeczywistych (lub ogólniej, zespolonych) $ax+b,\;a\neq 0$ wzory sprowadzają się do postaci:

$x_{1}=-{\tfrac {b}{a}}.$

Trójmian kwadratowy

W przypadku trójmianu kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych (lub ogólniej, zespolonych) $ax^{2}+bx+c,\;a\neq 0$ wzory te przyjmują postać:

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\tfrac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}={\tfrac {c}{a}}\end{cases}}.$

Wzory te są prawdziwe również, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego $\Delta <0,$ wówczas oczywiście oba pierwiastki $x_{1},x_{2}$ są zespolone nierzeczywiste.

Wielomian stopnia trzeciego

Dla wielomianów stopnia trzeciego, postaci $ax^{3}+bx^{2}+cx+d,\;a\neq 0,$ o pierwiastkach $x_{1},x_{2},x_{3}$ wzory te mają postać:

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}}\\x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}\end{cases}}$

Dowód

Przypadek funkcji kwadratowej

Niech $x_{1},x_{2}$ będą miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $ax^{2}+bx+c.$ Wówczas

$a(x-x_{1})(x-x_{2})=ax^{2}+bx+c$

$a(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2})=ax^{2}+bx+c$

$-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}=bx+c$

Ponieważ dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy przy odpowiednich potęgach mają równe współczynniki, mamy:

${\begin{cases}-a(x_{1}+x_{2})=b\\ax_{1}x_{2}=c\end{cases}}$

a stąd wzory wspomniane wyżej.

Przypadek ogólny

Aby udowodnić wzory Viète’a, piszemy równość

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\dots (x-x_{n})$

(która jest prawdziwa, gdyż $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ są wszystkimi pierwiastkami wielomianu), dokonujemy mnożenia po prawej stronie i przyrównujemy współczynniki. Otrzymujemy

${\begin{cases}a_{n}(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n-1}+x_{n})=-a_{n-1}\\a_{n}(x_{1}x_{2}+\ldots +x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+\ldots +x_{2}x_{n}+\ldots +x_{n-1}x_{n})=a_{n-2}\\\vdots \\a_{n}x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}a_{0}\end{cases}}$

czyli

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\x_{1}x_{2}+\ldots +x_{1}x_{n}+x_{2}x_{3}+\ldots +x_{2}x_{n}+\ldots +x_{n-1}x_{n}={\tfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\\vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}$

Bibliografia

• Bolesław Gleichgewicht: Algebra – podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 244.

Linki zewnętrzne

• Wzory Viète’a w zadaniach szkolnych