Wzory skróconego mnożenia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Graficzne uzasadnienie wzoru na kwadrat sumy

Wzory skróconego mnożenia – wspólna nazwa wzorów rozwijających wyrażenia postaci oraz gdzie jest liczbą naturalną.

Wzory z zastosowaniem kwadratu liczby[edytuj]

Kwadrat sumy:

Kwadrat różnicy:

Wzory te mają również wersje dla większej liczby składników, np. dla trzech:

Ogólnie można ten wzór stosować dla kwadratu dowolnej liczby składników. Różnice należy przedstawić w postaci sumy składników o przeciwnym znaku, np. Po prawej stronie wzoru skróconego mnożenia wystąpią wtedy kwadraty każdego ze składników w nawiasie, oraz podwojone iloczyny każdej pary tych składników.

Dla dowolnej liczby składników:

Wzory te mają także uogólnienie w przestrzeniach unitarnych, zwane tożsamością polaryzacyjną.


Różnica kwadratów:

Analogicznie zbudowana suma nie rozkłada się na wielomiany rzeczywiste, można jednak rozłożyć ją na wielomiany zespolone:

, gdzie to jednostka urojona.

Inne wykładniki[edytuj]

Graficzne uzasadnienie wzoru na sześcian sumy

Sześcian sumy:

Sześcian różnicy:

Suma sześcianów:

Różnica sześcianów:

Tożsamość Sophie Germain:

Różnica czwartych potęg:

Suma piątych potęg:

Różnica piątych potęg:

Wzory ogólne[edytuj]

(dwumian Newtona)
, gdzie

Powyższe wzory zachodzą we wszystkich pierścieniach przemiennych.