Złożenie funkcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Złożenie (superpozycja) funkcjifunkcja zwracająca wartość pewnej funkcji w punkcie zadanym za pomocą innej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech f: X \to Y oraz g: Y \to Z będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję h: X \to Z taką, że:

h(x)=g\left(f(x)\right).

Funkcje f oraz g nazywa się funkcjami składanymi, zaś h nosi również nazwę funkcji złożonej.

Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany \circ. Dla powyższych funkcji

h = g \circ f,

zatem

h(x) = g\left(f(x)\right) \equiv (g \circ f)(x).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Łączność operatora składania oznacza, że f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h, czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis f \circ g \circ h.

Z istnienia złożenia g \circ f nie wynika istnienie f \circ g. Jest to możliwe wtedy, gdy zbiór X jest tożsamy z Z. Mamy wówczas f \circ g\colon Y \to Y, w takim przypadku f \circ g na ogół różni się od funkcji g \circ f.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Niech f\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x) = 2x+1 i g\colon \mathbb R \to \mathbb R, g(x) = x^2. Wtedy

(g \circ f)\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; (g \circ f)(x) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1, natomiast
(f \circ g)\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; (f \circ g)(x) = 2(x^2) + 1 = 2x^2 + 1.

Widać, iż g \circ f jest inna niż f \circ g.

Struktura grupy[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: grupa permutacji.

Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Składanie funkcji samej ze sobą[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli f\colon X \to X, to można wykonać złożenie f samą ze sobą – otrzymaną funkcję f \circ f oznacza się zazwyczaj f^2. Analogicznie, f^3 = f \circ f \circ f itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.

Dodatkowo funkcję f, dla której (f \circ f)(x) = x nazywamy inwolucją; jej przykładem w geometrii jest inwersja.

Tradycyjnie f 2 jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (nazywany też iloczynem punktowym), czyli f^2 (x) = f(x) \cdot f(x) dla każdego x \in X . W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: \sin^2 x + \cos^2 x = 1 zapis \sin^2 x oznacza właśnie \sin x \cdot \sin x = (\sin x)^2.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]