Złożenie funkcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Złożenie (superpozycja) funkcji – podstawowa operacja w matematyce, polegająca na tym, że efekt kolejnego stosowania dwóch (lub więcej) funkcji (ze zbioru w zbiór), a także przekształceń, odwzorowań, transformacji, relacji dwuargumentowych, traktuje się jako wynik stosowania jednej funkcji (lub relacji) złożonej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech oraz będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję taką, że:

dla

Funkcje oraz nazywa się funkcjami składanymi, zaś nosi również nazwę funkcji złożonej.

Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany Dla powyższych funkcji

zatem dla dowolnego z dziedziny funkcji mamy równość:

Własności[edytuj | edytuj kod]

Łączność operatora składania oznacza, że czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis

Istotną cechą złożenia funkcji, czyli immanentną cechą operatora jest nieprzemienność. Złożenie oznacza relację: «po» «z» lub «dzięki» czy też «wskutek» lub «utworzony z» (ang. after, of, following, composed).

Tak więc złożenie nie jest tożsame z Jest to (wyjątkowo) możliwe tylko wtedy, gdy zbiór jest tożsamy z Mamy wówczas a w takim przypadku na ogół różni się od funkcji

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Niech i

Wtedy

natomiast

Widać, iż jest inna niż

Struktura grupy[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: grupa permutacji.

Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

  • czyli grupa symetryczna danego zbioru oznaczana również przez albo czyli grupa wszystkich bijekcji
  • Zbiór wszystkich odwzorowań jest półgrupą, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.

Składanie funkcji samej ze sobą[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli to można wykonać złożenie samą ze sobą – otrzymaną funkcję oznacza się zazwyczaj Analogicznie, itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.

Dodatkowo funkcję dla której nazywamy inwolucją; jej przykładem w geometrii jest inwersja.

Tradycyjnie jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (nazywany też iloczynem punktowym), czyli dla każdego W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: zapis oznacza właśnie

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]