Złożenie funkcji

Ilustracja złożenia dwóch funkcji

Diagram przemienny przedstawiający złożenie funkcji lub innych strzałek

Złożenie funkcji, superpozycja funkcji – podstawowa operacja w matematyce, polegająca na tym, że efekt kolejnego stosowania dwóch (lub więcej) funkcji (ze zbioru w zbiór), a także przekształceń, odwzorowań, transformacji, relacji dwuargumentowych, traktuje się jako wynik stosowania jednej funkcji (lub relacji) złożonej.

Definicja

Niech $f\colon X\to Y$ oraz $g\colon Y\to Z$ będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję $h\colon X\to Z$ taką, że:

$h(x)=g\left(f(x)\right)$ dla $x\in X.$

Funkcje $f$ oraz $g$ nazywa się funkcjami składanymi, zaś $h$ nosi również nazwę funkcji złożonej.

Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany $\circ .$ Dla powyższych funkcji

$h=g\circ f,$

zatem dla dowolnego $x$ z dziedziny funkcji $f$ mamy równość:

$h(x)=g\left(f(x)\right)=(g\circ f)(x).$

Własności

Składanie funkcji nie jest przemienne – przykładowo obrót i ścinanie nie komutują, tzn. wykonanie ich w różnej kolejności daje różne wyniki

Łączność operatora składania oznacza, że $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h,$ czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis $f\circ g\circ h.$

Istotną cechą złożenia funkcji, czyli immanentną cechą operatora $\circ ,$ jest nieprzemienność. Złożenie $g\circ f$ oznacza relację: $g$ «po» $f,$ $g$ «z» lub «dzięki» $f,$ czy też $g$ «wskutek» lub «utworzony z» $f$ (ang. after, of, following, composed).

Tak więc złożenie $g\circ f$ nie jest tożsame z $f\circ g.$ Jest to (wyjątkowo) możliwe tylko wtedy, gdy zbiór $X$ jest tożsamy z $Z.$ Mamy wówczas $f\circ g\colon Y\to Y,$ a w takim przypadku $f\circ g$ na ogół różni się od funkcji $g\circ f.$

Przykład 1

Niech $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f(x)=2x+1$ i $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,g(x)=x^{2}.$

Wtedy

$(g\circ f)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;(g\circ f)(x)=(2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1,$

natomiast

$(f\circ g)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;(f\circ g)(x)=2(x^{2})+1=2x^{2}+1.$

Widać, iż $g\circ f$ jest inna niż $f\circ g.$

Przykład 2

Weźmy dodawanie liczb naturalnych czyli funkcję $+:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ (posiada ona indywidualną notację przykładowo zamiast pisać $+(1,2)=3$ zapisujemy $1+2=3$). Wówczas gdy dodajemy 3 i więcej liczb używamy składania funkcji:

$a+b+c=+(a,+(b,c))=f(a,f(b,c))$

Wprowadziliśmy dodatkowe oznaczenie $f=+$ w celu rozjaśnienia, że mamy tu do czynienia ze składaniem funkcji. W powyższym przykładzie, sposób składania polega na złożeniu funkcji dodawania samej ze sobą, gdzie kolejność składania ze względu na łączność dodawania jest dowolna tj. ten sam rezultat otrzymamy dla złożenia $f(f(a,b),c)$. Ponieważ dodawanie jest również przemienne to identyczny wynik osiągniemy dla podobnych złożeń z dowolnym układem argumentów np. $f(f(c,a),b)$.

Przykład 3

Weźmy wielomian $w(x)=3x^{2}+2x+4$, jest to funkcja złożona (podobnie jak w przykładzie 2) korzystajaca z dodawania $+(x,y)$, mnożenia $\cdot (x,y)$ i potęgowania, kótre oznaczymy $p(x,y)=x^{y}$, oraz odpowiednich regół składania tych funkcji ze sobą (wprowadzamy oznaczenia $d=+$ i $m=\cdot$):

$w(x)=3x^{2}+2x+4=+{\Big (}\cdot (3,p(x,2)),+(\cdot (2,x),4){\Big )}=d{\Big (}m(3,p(x,2)),d(m(2,xt),4){\Big )}$

Struktura grupy

Diagram przemienny przedstawiający łączność złożenia: $f\circ (g\circ h)$$\ =\$$(f\circ g)\circ h.$ Takie diagramy są używane głównie w teorii kategorii

Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy.

Przykład

• $\Sigma _{X},$ czyli grupa symetryczna danego zbioru $X,$ oznaczana również przez $S_{X}$ albo $\operatorname {Sym} (X),$ czyli grupa wszystkich bijekcji $f\colon X\to X.$
• Zbiór wszystkich odwzorowań $f\colon X\to X$ jest półgrupą, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.

Składanie funkcji samej ze sobą

Jeżeli $f\colon X\to X,$ to można wykonać złożenie $f$ samą ze sobą – otrzymaną funkcję $f\circ f$ oznacza się zazwyczaj $f^{2}.$ Analogicznie, $f^{3}=f\circ f\circ f$ itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.

Dodatkowo funkcję $f,$ dla której $(f\circ f)(x)=x$ nazywamy inwolucją; jej przykładem w geometrii jest inwersja.

Tradycyjnie $f^{2}$ jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (nazywany też iloczynem punktowym), czyli $f^{2}(x)=f(x)\cdot f(x)$ dla każdego $x\in X.$ W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ zapis $\sin ^{2}x$ oznacza właśnie $\sin x\cdot \sin x=(\sin x)^{2}.$

Zobacz też

• reguła łańcuchowa
• teoria kategorii
• układ dynamiczny

Linki zewnętrzne

• Algebra – składanie funkcji, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-27].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Composition, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-10-10].
• Composite function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-02-17].