Złożenie funkcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Złożenie (superpozycja) funkcjifunkcja zwracająca wartość pewnej funkcji w punkcie zadanym za pomocą innej.

Definicja[edytuj]

Niech oraz będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję taką, że:

.

Funkcje oraz nazywa się funkcjami składanymi, zaś nosi również nazwę funkcji złożonej.

Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany . Dla powyższych funkcji

,

zatem dla dowolnego x z dziedziny funkcji f mamy równość:

.

Własności[edytuj]

Łączność operatora składania oznacza, że , czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis .

Z istnienia złożenia nie wynika istnienie . Jest to możliwe wtedy, gdy zbiór jest tożsamy z . Mamy wówczas , w takim przypadku na ogół różni się od funkcji .

Przykład[edytuj]

Niech i . Wtedy

, natomiast
.

Widać, iż jest inna niż .

Struktura grupy[edytuj]

 Osobny artykuł: grupa permutacji.

Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy.

Przykład[edytuj]

  • , czyli grupa symetryczna danego zbioru , oznaczana również przez albo , czyli grupa wszystkich bijekcji .
  • Zbiór wszystkich odwzorowań jest półgrupa, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.

Składanie funkcji samej ze sobą[edytuj]

Jeżeli , to można wykonać złożenie samą ze sobą – otrzymaną funkcję oznacza się zazwyczaj . Analogicznie, itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.

Dodatkowo funkcję , dla której nazywamy inwolucją; jej przykładem w geometrii jest inwersja.

Tradycyjnie f 2 jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (nazywany też iloczynem punktowym), czyli dla każdego . W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: zapis oznacza właśnie .

Zobacz też[edytuj]