Złożenie funkcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Złożenie (superpozycja) funkcji – podstawowa operacja w matematyce, polegająca na tym, że efekt kolejnego stosowania dwóch (lub więcej) funkcji (ze zbioru w zbiór), a także przekształceń, odwzorowań, transformacji, relacji dwuargumentowych, traktuje się jako wynik stosowania jednej funkcji (lub relacji) złożonej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech oraz będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję taką, że:

dla

Funkcje oraz nazywa się funkcjami składanymi, zaś nosi również nazwę funkcji złożonej.

Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany Dla powyższych funkcji

zatem dla dowolnego z dziedziny funkcji mamy równość:

Własności[edytuj | edytuj kod]

Łączność operatora składania oznacza, że czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis

Z istnienia złożenia nie wynika istnienie Jest to możliwe wtedy, gdy zbiór jest tożsamy z Mamy wówczas w takim przypadku na ogół różni się od funkcji

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Niech i

Wtedy

natomiast

Widać, iż jest inna niż

Struktura grupy[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: grupa permutacji.

Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

  • czyli grupa symetryczna danego zbioru oznaczana również przez albo czyli grupa wszystkich bijekcji
  • Zbiór wszystkich odwzorowań jest półgrupą, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.

Składanie funkcji samej ze sobą[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli to można wykonać złożenie samą ze sobą – otrzymaną funkcję oznacza się zazwyczaj Analogicznie, itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.

Dodatkowo funkcję dla której nazywamy inwolucją; jej przykładem w geometrii jest inwersja.

Tradycyjnie f ² jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (nazywany też iloczynem punktowym), czyli dla każdego W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: zapis oznacza właśnie

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]