Złota spirala

Złota spirala – szczególny przypadek spirali logarytmicznej, w której stały współczynnik $b$ zależy od tzw. złotej liczby $\varphi$

\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1{,}61803\,39887\dots

Cechą charakterystyczną jest to, że podczas ruchu po spirali z każdym obrotem o 90° jej promień wodzący $r$ zwiększa się $\varphi$ razy (lub zmniejsza się, gdy porusza się po spirali w kierunku przeciwnym).

Złote spirale są samopodobne, co oznacza, że ich kształt powtarza się w nieskończoność przy powiększaniu. Własność samopodobieństwa jest cechą każdej spirali logarytmicznej.

Znanych jest wiele spirali będących przybliżeniami złotej spirali i często mylonych z nią. Przykładem może być spirala Fibonacciego, która nie jest spiralą logarytmiczną.

Równanie złotej spirali – współrzędne biegunowe

Spirala logarytmiczna

Ogólny wzór na spiralę logarytmiczną we współrzędnych biegunowych ma postać

r(\theta )=ae^{b\theta },\quad

\theta \in (-\infty ,+\infty )

lub równoważnie

\theta (r)={\frac {1}{b}}\ln(r/a),\quad

r>0

gdzie:

$a>0,$
$b\neq 0$ – stałe liczby rzeczywiste
$e$ – podstawa logarytmu naturalnego

Złota spirala

Złota spirala jest szczególnym przypadkiem spirali logarytmicznej: po obrocie o kąt prosty = $\pi /2$ (wyrażony w radianach) promień $r(\theta )$ punktu spirali zwiększa się $\varphi$ -krotnie, gdzie

$\varphi$ jest złotą liczbą, tj. mamy warunek:

{\frac {r(\theta +\pi /2)}{r(\theta )}}=\varphi

Po podstawieniu wzoru na $r(\theta )$ dla spirali logarytmicznej otrzymujemy $e^{b{\frac {\pi }{2}}}=\varphi$ , skąd mamy:

b={\frac {\ln({\varphi })}{\pi /2}}

Podstawiając wartości złotej liczby $\varphi$ oraz $\pi$ otrzyma się:

b=0{,}306349

Równanie złotej spirali ma więc postać:

r(\theta )=ae^{0{,}306349\cdot \theta },\quad

\theta \in (-\infty ,+\infty )

przy czym kąt $\theta$ jest wyrażany w radianach.

Uwagi:

a) Parametr $b$ może być także ujemny; wtedy tworzy spiralę obracającą się w przeciwną stroną niż dla $b>0.$

b) Jeżeli kąty $\theta$ wyraża się w stopniach, to wartość bezwzględna parametru $b$ wynosi:

|b|={\frac {\ln \varphi }{90^{\circ }}}=0{,}0053468

na stopień

i równanie spirali ma postać $r(\theta )=ae^{0{,}0053468\cdot \theta },$ $\theta \in (-\infty ,+\infty )$ .

Równania parametryczne złotej spirali – współrzędne kartezjańskie

Równanie spirali $r=ae^{b\varphi }$ można przekształcić na układ równań parametrycznych we współrzędnych kartezjańskich. Z zależności współrzędnych kartezjańskich $x,y$ od $r,\varphi$

{\begin{cases}x(r,\varphi )=r\cdot \cos \varphi ,\\y(r,\varphi )=r\cdot \sin \varphi \end{cases}}

otrzymamy równania parametryczne spirali logarytmicznej:

{\begin{cases}x(\varphi )=ae^{b\varphi }\cos(\varphi ),\\y(\varphi )=ae^{b\varphi }\sin(\varphi ),\end{cases}}

gdzie $a,\,b\in \mathbb {R}$ – stałe, $\varphi \in (-\infty ,+\infty )$ – parametr równań.

Podstawiając do tych równań $b=0{,}306349$ otrzymamy równania parametryczne złotej spirali.

Własności złotej spirali

W artykule spirala logarytmiczna zestawiono własności typowe dla wszystkich spirali logarytmicznych. Własności te dotyczą m. in. złotej spirali, która jest spiralą logarytmiczną o parametrze $b=0{,}306349$ .

Kreślenie spirali

Jeśli spirala ma równanie $r(\theta )=ae^{b\theta },$ to jej kreślenie spirali można zacząć od punktu $(a,0)$ . Wtedy mamy cztery możliwe przypadki:

a) Dla $b>0$ oraz $\varphi \to +\infty$ promień spirali rośnie do nieskończoności $(r=ae^{b\varphi }\to +\infty ).$ Jeżeli zaczniemy rysowanie spirali od punktu $(a,0)$ , to dla $\varphi \in (0,+\infty )$ spirala będzie rozwijać się, oddalając się coraz bardziej od bieguna (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara)

Dla $b>0$ oraz $\phi \to -\infty$ promień spirali maleje do zera ( $r=ae^{b\varphi }\to 0$ ). Jeżeli zaczniemy rysowanie spirali od punktu $(a,0)$ , to dla $\varphi \in (0,-\infty )$ spirala będzie zwijać się, zbliżając się coraz bardziej do bieguna (zgodnie z ruchem wskazówek zegara)

b) Dla $b<0$ będzie odwrotnie: dla $\phi \to -\infty$ spirala będzie rosła nieograniczenie, ale zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a dla $\varphi \to +\infty$ będzie zwijać się do środka, ale przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Kod do wykreślenia złotej spirali

Podany niżej kod w języku Python korzysta z biblioteki graficznej Matplotlb i rysuje trzy złote spirale o parametrze $b=0.306349$ i parametrach $a=0.1,0.15,0.2$ zadanych w linii 5 kodu. Parametr $n$ określa ile razy będzie kreślona połówka skrętu spirali. Zmieniając parametry, można przetestować wyżej podane własności spirali; np. zmieniając znak parametru $b$ zmienimy skrętność na przeciwną; dla $n=2$ otrzymamy jeden zwój spirali; zwiększając $n$ zobaczymy, że kreślone są zwoje, które "wchodzą" w stronę środka spirali lub rozwijają się i oddalają od środka w zależności od znaku parametrów $b,n$ .

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Dane:
b = 0.306349         # parametr 'b' dla złotej spirali
a = [0.1, 0.15, 0.2] # parametry 'a' dla 3 zotych spirali
n = 10                # liczba połówek spirali/2=liczba obrotów
c = ['blue', 'orange', 'green'] # kolory 3 spirali

# Obliczenia:
t = np.linspace(0, n*np.pi, abs(n)*1000)
fig = plt.figure(figsize=(10, 8))

for i, (ai, col) in enumerate(zip(a, c), 1):
    r = ai * np.exp(b * t)
    x, y = r*np.cos(t), r*np.sin(t)
    plt.plot(x, y, color=col, label=f"a = {ai}")
    plt.scatter(x[0], y[0], color=col, s=80, marker='o')  # kółka na początku
    plt.annotate("", xy=(x[-1], y[-1]), xytext=(x[-10], y[-10]),
                 arrowprops=dict(arrowstyle="->", color=col, lw=2))

znak = (r"b > 0, φ > 0 (r → +∞)" if (b > 0 and n > 0) else
        r"b > 0, φ < 0 (r → 0)" if (b > 0 and n < 0) else
        r"b < 0, φ > 0 (r → 0)" if (b < 0 and n > 0) else
        r"b < 0, φ < 0 (r → +∞)")

plt.gca().set_aspect('equal')
plt.grid()
plt.legend(fontsize=16)
plt.title(f"Złote spirale, {znak}", fontsize=20)

# --- DODANE: legenda symboli pod wykresem ---
plt.text(
    0.5, -0.12,
    "o — start spirali    ▶ — koniec spirali",
    transform=plt.gca().transAxes,
    ha='center',
    fontsize=16
)
plt.tick_params(axis='both', labelsize=18)
plt.show()

Zobacz też

Bibliografia

W języku polskim:

I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, PWN, Warszawa 2019, str. 129-130.
I. Dziubiński, T. Świątkowski i inni, praca zbiorowa, Poradnik matematyczny cz. 2, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, str. 748-749.

W języku angielskim:

Fractals in Music: introductory mathematics for musical analysis. High Art Press, 1999, s. 14–16. ISBN 0-9671727-6-4. (ang.).
Divine Proportion: Φ Phi in Art, Nature, and Science. Sterling Publishing Co, 2005, s. 127–129. ISBN 1-4027-3522-7. (ang.).

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Golden Spiral, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-07-19].
Golden Spiral demonstracja autorstwa Yu-Sung Chang, The Wolfram Demonstrations Project

[1] wielokątów płaskich

[a]