Zagadnienie Cauchy’ego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Zagadnienie Cauchy'ego)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zagadnienie Cauchy’ego (zagadnienie początkowe) – zagadnienie polegające na znalezieniu konkretnej funkcji spełniającej dane równanie różniczkowe i warunek początkowy. W przypadku równania stopnia pierwszego, warunkiem początkowym będzie punkt, przez który powinien przechodzić wykres szukanej funkcji. W przypadku równania stopnia drugiego, zagadnienie początkowe zawierać będzie dodatkowo wartość pierwszej pochodnej w danym punkcie i analogicznie, w przypadku równań wyższego stopnia.

Przykład[edytuj]

Rozważmy następujące zagadnienie początkowe:

na początku należy rozwiązać równanie różniczkowe. Stosując algorytm postępowania z równaniem o zmiennych rozdzielonych możemy łatwo obliczyć, że funkcją spełniającą równanie jest:

Wówczas rozwiązanie zagadnienia początkowego sprowadza się do obliczenia wartości stałej , więc:

Czyli rozwiązaniem zagadnienia jest funkcja: