Przejdź do zawartości

Zagadnienie Cauchy’ego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Zagadnienie Cauchy’ego, zagadnienie początkowe[1], problem Cauchy'ego – zagadnienie polegające na znalezieniu konkretnej funkcji spełniającej dane równanie różniczkowe i warunek początkowy. W przypadku równania rzędu pierwszego, warunkiem początkowym będzie punkt, przez który powinien przechodzić wykres szukanej funkcji[2]. W przypadku równania rzędu drugiego, zagadnienie początkowe zawierać będzie dodatkowo wartość pierwszej pochodnej w danym punkcie i analogicznie, w przypadku równań wyższych rzędów.

Przykład

[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy następujące zagadnienie początkowe:

na początku należy rozwiązać równanie różniczkowe. Stosując algorytm postępowania z równaniem o zmiennych rozdzielonych możemy łatwo obliczyć, że funkcją spełniającą równanie jest:

Wówczas rozwiązanie zagadnienia początkowego sprowadza się do obliczenia wartości stałej więc:

Czyli rozwiązaniem zagadnienia jest funkcja:

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Cauchy’ego zagadnienie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-04-03].
  2. Krysicki i Włodarski 2006 ↓, s. 197.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]