Zagadnienie mostów królewieckich

Mapa królewieckich mostów z czasów Eulera. Dodatkowo wyróżniona jest rzeka i mosty.

Zagadnienie mostów królewieckich − problem, nad którym rzekomo głowili się mieszkańcy Królewca, a który rozwiązał w XVIII wieku Leonhard Euler.

Przez Królewiec przepływała rzeka Pregoła, w której rozwidleniach znajdowały się dwie wyspy. Ponad rzeką przerzucono siedem mostów, z których jeden łączył obie wyspy, a pozostałe mosty łączyły wyspy z brzegami rzeki. Problem, którym zainteresował się Euler, był następujący: czy można przejść kolejno przez wszystkie mosty tak, żeby każdy przekroczyć tylko raz.

Opis zagadnienia opublikowany przez Eulera w 1741 roku w pracy Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis w Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (wolumen 8, strony 128-140) jest uznawany za pierwszą pracę na temat teorii grafów.

Euler wykazał, że jest to niemożliwe, a decyduje o tym nieparzysta liczba wylotów mostów zarówno na każdą z wysp, jak i na oba brzegi rzeki. Rozważył przy tym także ogólniejszy problem, starając się ustalić warunki, które muszą być spełnione, żeby dany graf spójny można było opisać linią ciągłą w taki sposób, by każda krawędź tego grafu była obwiedziona tylko raz (patrz graf eulerowski). Euler pokazał, że jest to możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy liczba wierzchołków tego grafu, w których spotyka się nieparzysta liczba krawędzi, wynosi 0 lub 2. Doszedł także do wniosku, że aby przejść wszystkie krawędzie grafu i wrócić do punktu wyjścia, nie może on zawierać żadnych węzłów, w których spotyka się nieparzysta liczba krawędzi.

Przekształcenie schematu mostów w graf

→ →
Lewy wierzchołek reprezentuje małą wyspę ze środka obrazka, prawy to wyspa z prawej (na rysunku widać tylko jej fragment), a górny i dolny wierzchołek, to brzegi rzeki.

Bibliografia

• O mostach królewieckich na Cut-the-knot (ang.)

Linki zewnętrzne

• Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis - oryginalny artykuł Eulera (łac.)