Przejdź do zawartości

Zagadnienie mostów królewieckich

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Mapa królewieckich mostów z czasów Eulera (mosty oraz rzekę wyróżniono)

Zagadnienie mostów królewieckich, problem mostów królewieckich[1] – kwestia, nad jaką rzekomo głowili się mieszkańcy Królewca, a którą rozwiązał w XVIII wieku Leonhard Euler[2][3][4][5].

Przez Królewiec przepływa rzeka Pregoła, w której rozwidleniach znajdują się dwie wyspy. Ponad rzeką przerzucono siedem mostów, z których jeden łączył obie wyspy, a pozostałe mosty łączyły wyspy z brzegami rzeki. Problem, którym zainteresował się Euler, był następujący: czy można przejść kolejno przez wszystkie mosty tak, żeby każdy przekroczyć raz i tylko raz[2][3][4][5].

Opis zagadnienia opublikowany przez Eulera w 1741 roku w pracy Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis w Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (wolumen 8, strony 128-140)[6] jest uznawany za pierwszą pracę na temat teorii grafów.

Euler wykazał, że jest to niemożliwe, a decyduje o tym nieparzysta liczba wylotów mostów zarówno na każdą z wysp, jak i na oba brzegi rzeki. Rozważył przy tym także ogólniejszy problem, starając się ustalić warunki, które muszą być spełnione, żeby dany graf spójny można było opisać linią ciągłą w taki sposób, by każda krawędź tego grafu była obwiedziona tylko raz (patrz graf eulerowski)[4][5]. Euler pokazał, że jest to możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy liczba wierzchołków tego grafu, w których spotyka się nieparzysta liczba krawędzi, wynosi 0 lub 2. Doszedł także do wniosku, że aby przejść wszystkie krawędzie grafu i wrócić do punktu wyjścia, nie może on zawierać węzłów, w których spotyka się nieparzysta liczba krawędzi.

Przekształcenie schematu mostów w graf

[edytuj | edytuj kod]


Lewy wierzchołek reprezentuje małą wyspę ze środka obrazka, prawy to wyspa z prawej (na rysunku widać tylko jej fragment), a górny i dolny wierzchołek, to brzegi rzeki.

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Euler Leonhard, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-12-10].
  2. a b Jerzy Mioduszewski, Mosty królewieckie: dwieście lat później, „Delta”, 4, 1981 [dostęp 2021-03-25].
  3. a b Mariusz Śliwiński, Mosty królewieckie [online], math.edu.pl [dostęp 2021-03-25].
  4. a b c Iwo Białynicki-Birula, Iwona Białynicka-Birula, Modelowanie rzeczywistości, Warszawa: Prószyński i S-ka SA, 2002, s. 14–18, ISBN 83-7255-103-0.
  5. a b c Grafy II [online], Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego [dostęp 2021-03-25].
  6. Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis [online], Euler Archive [dostęp 2021-03-25] (ang.).

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • Alexander Bogomolny, Graphs Fundamentals [online], Cut-the-knot [dostęp 2021-03-25] (ang.).

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]