Zasada d’Alemberta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Zasada d'Alemberta)
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy mechaniki. Zobacz też: zasada d’Alemberta w robotyce.

Zasada d’Alemberta – sposób ogólnego sformułowania praw ruchu dla układu punktów materialnych, których ruch ograniczony jest więzami holonomicznymi dwustronnymi. Z zasady d’Alemberta można wyprowadzić równania Lagrange’a pierwszego rodzaju.

Zgodnie z zasadą d’Alemberta dla układu n punktów materialnych

Praca zsumowanych sił zewnętrznych i sił bezwładności na drodze będącej przesunięciem wirtualnym, czyli praca wirtualna jest równa zeru

Zasadę tę można zapisać wzorami

gdzie

siła działająca na i-ty element układu,
siła bezwładności działająca na i-ty element układu o masie mi,
przyspieszenie i-tego elementu układu,
przesunięcie wirtualne i-tego elementu układu.

Sformułowana przez d’Alemberta, w postaci analitycznej zasada została zapisana przez Lagrange’a w Méchanique Analitique z roku 1788.

Więzy określone są przez m równań

gdzie . Dla każdego z tych równań współrzędne przesunięć wirtualnych muszą spełniać warunki

Zasada d’Alemberta może zostać uogólniona do układów o więzach nieholonomicznych.

Związek z II zasadą dynamiki Newtona[edytuj]

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wypadkowa siła działająca na każdy element układu powoduje jego przyspieszenie zgodnie z równaniem

Siły wypadkowe można rozdzielić na siły reakcji więzów FRi i pozostałe działające siły Fi, wówczas

stąd

Trzeci człon w tym równaniu może być również traktowany jak siła. Siłę tę d’Alembert nazwał siłą bezwładności. Praca wirtualna wszystkich tych sił na drodze stycznej do hiperpowierzchni, określonej przez równania więzów, a określonej w przestrzeni stanów[a], równa będzie

Ale siły reakcji są zawsze prostopadłe do powierzchni więzów, dlatego praca wirtualna wykonywane przez te siły zeruje się

stąd wynika

Widać stąd, że w porównaniu z równaniami Newtona, zasada d’Alemberta ma tę przewagę, że pozwala wyeliminować z rozważań siły reakcji.

Uwagi

  1. Na przykład w prostym przypadku równania więzów mogą wyznaczać krzywą lub powierzchnię, po której może poruszać się ciało.

Bibliografia[edytuj]

  • Wojciech Rubinowicz, Wojciech Królikowski: Mechanika Teoretyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
  • Szczepan Szczeniowski: Fizyka doświadczalna. Mechanika i akustyka. PWN, Warszawa (1980)