Zasada najmniejszego działania

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zasada najmniejszego działania Hamiltona – zasada wariacyjna, służąca do znajdowania równań ruchu układów fizycznych złożonych z jednej lub wielu cząstek. Zasada ta została podana przez Hamiltona i stanowi jedną z fundamentalnych zasad fizyki klasycznej (porównaj: fizyka kwantowa).

Działanie Hamiltona[edytuj | edytuj kod]

Działaniem Hamiltona obliczonym dla trajektorii w przestrzeni konfiguracyjnej układu fizycznego, łączącej punkt w chwili z punktem w chwili nazywamy całkę z funkcji Lagrange'a danego układu fizycznego, tj.

Zasada Hamiltona[edytuj | edytuj kod]

Gdy układ porusza się, to punkt q opisujący jego stan w przestrzeni konfiguracyjnej kreśli trajektorię. Spośród wielu możliwych trajektorii łączących dane punkty (q1, t1) oraz (q2, t2) (niebieskie linie) rzeczywista trajektoria układu (czerwona) daje ekstremum działania (δS = 0) - niewielkie zmiany δq tej trajektorii nie zmieniają działania.

Zasada Hamiltona głosi, że:

Rzeczywisty układ fizyczny porusza się po trajektorii, dla której działanie Hamiltona przyjmuje wartość stacjonarną (tj. minimum, maksimum lub punkt przegięcia), przy czym w obliczaniu działania rozważa się wszystkie możliwe trajektorie łączące zadany punkt początkowy i końcowy w zadanym czasie.

Jeżeli punkty te leżą blisko siebie, to działanie ma minimum (stąd nazwa: zasada najmniejszego działania).

Jednak w ogólności zasada Hamiltona jest zasadą stacjonarnego działania: przy wariowaniu toru rzeczywistego działanie nie zmieni się w pierwszym rzędzie, a to oznacza, że działanie ma wartość stacjonarną, analogicznie jak dla funkcji jednej zmiennej, gdzie zerowanie się pochodnej oznacza przyjęcie przez funkcję wartości stacjonarnej (tj. minimum, maksimum lub w punkcie przegięcia).

Inaczej mówiąc, zasada Hamiltona oznacza, że wariacja działania przyjmuje wartość równą zeru

Zasada Hamiltona prowadzi do równań Eulera-Lagrange’a.

Podejście teleologiczne a determinizm[edytuj | edytuj kod]

Zasada najmniejszego działania wydaje się być przykładem tak zwanego podejścia teleologicznego: układ porusza się między dwoma punktami tak, by zrealizować pewien cel (tu: sprawiać, by działanie było stacjonarne). Jednak jest to tylko pozorne, bowiem zasada Hamiltona jest równoważna równaniom Eulera-Lagrange'a (choć nie w każdych warunkach), te zaś stanowią układ równań różniczkowych, które implikują deterministyczny (przyczynowy) ruch układu.

Inne zasady wariacyjne[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Chris G. Gray, Principle of least action, Scholarpedia (2009).
  2. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012.