Zasada najmniejszego działania

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zasada najmniejszego działania – podstawowa zasada wariacyjna, służąca do znajdowania równań ruchu układów fizycznych złożonych z jednej lub wielu cząstek. Znanych jest kilka sformułowań tej zasady.

Zasada Hamiltona[edytuj | edytuj kod]

Według tej zasady podanej przez Hamiltona, dla ustalonego przedziału czasu rzeczywisty ruch układu pomiędzy danymi punktami początkowym i końcowym przebiega po takiej trajektorii, dla której funkcjonał zwany działaniem Hamiltona ma wartość stacjonarną (minimum lub punkt przegięcia), przy czym w obliczaniu funkcjonału rozważa się wszystkie możliwe trajektorie łączące punkt początkowy i końcowy w zadanym czasie. Jeżeli rozważane punkty początkowy i końcowy leżą blisko siebie, to funkcjonał ma minimum (stąd nazwa: zasada najmniejszego działania). W innych wypadkach funkcjonał może mieć też punkt przegięcia.

Zasada Maupertuisa[edytuj | edytuj kod]

Sformułowana została przez Pierre Louis Maupertuisa. Mówi ona, że w fizyce klasycznej (porównaj: fizyka kwantowa) fizycznie realizowane tory cząstek minimalizują pewien funkcjonał zwany działaniem:

S = \int\limits_{t_0}^{t} L[x(\tau), \dot{x}(\tau), \tau] d\tau

Ściślej można mówić o zasadzie ekstremalnego działania (gdyż może ono również być maksymalne), a jeszcze ściślej o zasadzie stacjonarnego działania, gdyż tak naprawdę chodzi o taki tor, że przy jego wariowaniu działanie nie zmieni się (w pierwszym rzędzie). Analogicznie dla zwykłej funkcji pochodna jest równa zeru w minimum, maksimum, punkcie siodłowym lub odpowiednim punkcie przegięcia.

Zastosowanie metody znajdowania punktu stacjonarnego funkcjonału prowadzi do równań Eulera-Lagrange’a.

Zasada najmniejszego działania jest przykładem tak zwanego podejścia teleologicznego. Prowadzi ono do opisu zachowania się układu w sposób, w którym zachowanie się układu w kolejnych chwilach t0 <t1 <t2...  zależy nie tylko od zachowania się układu w chwilach wcześniejszych, ale także od zachowania się układu w chwili np. t_{10} i wszelkich innych późniejszych. Jak się okazuje, przy dosyć ogólnych założeniach, opis taki jest równoważny opisowi za pomocą równań Eulera-Lagrange'a (choć nie w każdych warunkach), a więc równań różniczkowych, w których układ opisywany jest w sposób deterministyczny (przyczynowy) i w którym zachowanie się układu w chwili t zależy wyłącznie od zachowania się układu w chwilach wcześniejszych i, co więcej, tylko dla infinitezymalnie krótkich czasów dt.

Inne sformułowania[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Chris G. Gray, Principle of least action, Scholarpedia (2009).
  2. W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012.