Zbiór

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy pojęcia pierwotnego matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Zbiór (dawniej także mnogość[1]) – pojęcie pierwotne aksjomatycznej teorii mnogości leżące u podstaw całej matematyki[1]; intuicyjnie jest to nieuporządkowany zestaw różnych obiektów, czy też kolekcja niepowtarzających się komponentów bez wyróżnionej kolejności.

Wprowadzenie[edytuj]

Każdy zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez jego składowe nazywane jego elementami (tzn. istnieje tylko jeden zbiór złożony z zadanych elementów), przy czym każdy element może należeć do danego zbioru bądź nie (tzn. element nie może należeć do zbioru np. „dwukrotnie”). Pojęcie zbioru ma charakter dystrybutywny, a nie kolektywny: Mars jest elementem zbioru planet Układu Słonecznego, lecz jakikolwiek element tej planety, np. leżąca na niej skała, nie jest już elementem wspomnianego zbioru planet (dystrybutywność); nadwozie jest elementem zbioru części samochodu, przy czym wycieraczka jest elementem nadwozia, a więc jest elementem samochodu (kolektywność).

W tzw. naiwnej (tj. niezaksjomatyzowanej) teorii mnogości zbiory wprowadza się wraz z relacją należenia lub przynależności do zbioru[2] oznaczaną zmodyfikowaną małą literą alfabetu greckiego (dla odróżnienia w matematyce korzysta się z innego jej wariantu typograficznego, ); przykładowo należenie elementu do zbioru zapisuje się zwykle zaś zaprzeczenie tego zdania („element nie należy do zbioru ”) uzyskuje się poprzez przekreślenie znaku relacji należenia: [3].

Elementy danego zbioru zwykło się zapisywać w nawiasach klamrowych; przykładowo zbiór składający się z czterech elementów zapisuje się zwykle symbolicznie w postaci

jest to jedyny zbiór składający się z tych elementów, co oznacza, że napisy czy (kolejność podawania elementów nie ma znaczenia), bądź (wielokrotne wymienienie tego samego elementu niczego nie przydaje) oznaczają ten sam zbiór. Poniekąd najprostszym, choć dość nieintuicyjnym zbiorem jest zbiór nie zawierający żadnego elementu, tzw. zbiór pusty oznaczany zwykle symbolem Elementami zbiorów mogą być również inne zbiory – zbiory złożone ze zbiorów nazywa się zwykle rodzinami (zbiorów). Należy wyraźnie zaznaczyć, że zbiór nie ma elementów, podczas gdy do zbioru należy jeden element: zbiór pusty (jest to więc jednoelementowa rodzina zbiorów złożona ze zbioru pustego).

Nie ma żadnego ograniczenia nałożonego na liczebność zbiorów, nazywaną ich mocą – moc zbioru oznaczana będzie dalej symbolem – wyróżnia się nawet różne hierarchie wielkości zbiorów związane z ich licznością (np. skala alefów, czy skala betów).

Określanie[edytuj]

Wyszczególnienie wszystkich elementów danego zbioru może być co najmniej nużące (gdy zbiór jest skończony), a niekiedy nawet niemożliwe (gdy zbiór jest nieskończony). Jednym ze sposobów skrócenia tego zapisu jest wykorzystanie notacji wielokropkowej, która zakłada pewną domyślność czytelnika; przykładowo zbiór zawierający wszystkie nieparzyste liczby naturalne większe od lecz mniejsze od można wskazać zapisując

Należy jednak uważać, by zapis był dostatecznie jednoznaczny, np. może oznaczać także zbiór liczb pierwszych ze wspomnianego przedziału, z kolei może oznaczać wszystkie liczby naturalne z podanego zakresu.

Innym sposobem jest użycie formuły logicznej (warunku logicznego), jeśli jest zdaniem logicznym o elemencie zbioru to zapis

oznacza zbiór wszystkich elementów które spełniają warunek

W początkach teorii mnogości stosowano notację tzn. nie ograniczano się do wybierania elementów z ustalonego zbioru – okazało się jednak, że prowadzi to do sprzeczności takich jak paradoks zbioru wszystkich zbiorów, czy antynomia Russella. Wspomniane problemy związane z konstruowaniem zbiorów były impulsem do formalizacji teorii mnogości poprzez porzucenie naiwnej teorii zbiorów na rzecz różnych aksjomatyzacji pojęć zbioru i relacji należenia; jedną z najczęściej stosowanych jest aksjomatyka Zermelo-Fraenkela (w jednym ze swych wariantów)[4].

 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Działania[edytuj]

Niech dane będą dowolne trzy podzbiory oraz zbioru nazywanego przestrzenią lub uniwersum.

Definicje
  • Sumą nazywa się zbiór tych elementów, które należą choć do jednego ze zbiorów lub
  • Iloczynem nazywa się zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do obu zbiorów oraz
  • Różnicą nazywa się zbiór tych elementów, które należą do zbioru ale nie należą do zbioru
  • Dopełnieniem nazywa się zbiór tych elementów, które nie należą do zbioru
  • Różnicą symetryczną nazywa się zbiór tych elementów, które należą do jednego i tylko jednego ze zbiorów oraz
Własności
  • łączność sumy i iloczynu (umożliwia wykonywanie jednakowych działań w dowolnej kolejności),
  • przemienność sumy i iloczynu (umożliwia zamianę wykonywania kolejności działania),
  • rozdzielność sumy względem iloczynu i iloczynu względem sumy,
  • I i II prawo De Morgana,
Przykłady

Niech oraz a ponadto Wówczas

Uwagi

Działania na zbiorach nazywa się często „mnogościowymi” dla odróżnienia od innych działań, np. algebraicznych: „suma mnogościowa”, „iloczyn mnogościowy”, „różnica mnogościowa” (lub nawet „suma, iloczyn, różnica zbiorów”). Działanie dodawania nazywa się niekiedy „unią”, z kolei różnicę nazywa się czasem „dopełnieniem względnym” (względem innego zbioru); alternatywne nazwy „przekrój”, czy „przecięcie” dla iloczynu są spotykane dużo częściej.

Wraz z osobnymi nazwami działania te mają unikatową symbolikę, choć niekiedy różnicę zbiorów oznacza się znakiem odejmowania[5], zaś dopełnienie oznacza się często apostrofem[6], działanie różnicy symetrycznej wydaje się mieć najmniej ustaloną symbolikę: czasami stosuje się symbol dodawania w okręgu[7]; odpowiednio

Nazwy i symbole działań na zbiorach odwołujące się do intuicji algebraicznych nie są przypadkowe: niektóre z przedstawionych działań umożliwiają wprowadzenie na podzbiorach danego zbioru różnych struktur algebraicznych (np. ciało zbiorów, pierścień zbiorów itp.), w ogólności wszystkie tworzą one tzw. algebrę Boole'a.

W przypadku działań sumy i iloczynu rozpatruje się również operacje skończone (zdefiniowane indukcyjnie) i nieskończone (zdefiniowane za pomocą kwantyfikatorów, czyli logiki pierwszego rzędu; nazywane też uogólnionymi). Sumę rodziny zbiorów definiuje się jako zbiór tych elementów, dla których istnieje (choć jeden) sumowany zbiór, do którego należą, z kolei iloczyn rodziny zbiorów zawiera wyłącznie te elementy, które należą do wszystkich zbiorów będących czynnikami.

Uogólnienia[edytuj]

Zbiór dwuelementowy złożony z dwóch (różnych) elementów nazywany parą (nieuporządkowaną), nie zawiera w sobie informacji o kolejności swoich elementów, tj. istnieje jednak obiekt nazywany parą uporządkowaną, który ją niesie, tj. – w teorii mnogości definiuje się go zwykle jako zbiór dwuelementowy:

Iloczynem kartezjańskim zbiorów nazywa się zbiór wszystkich par uporządkowanych, których pierwszy element należy do zbioru a drugi do zbioru ze względu na uporządkowanie par jest o ile czynniki są różne.

Zbiór potęgowy zbioru to rodzina (zbiór zawierający) wszystkie podzbiory zbioru zachodzi

Istnieje wiele uogólnień pojęcia zbioru, wśród nich są m.in.:

  • klasa – skupisko elementów dzielących wspólną właściwość;
  • multizbiór – zestaw bytów, w którym dany element może występować wielokrotnie;
  • n-tka – multizbiór, z określoną kolejnością elementów;
  • zbiór rozmyty – zbiór, do którego elementy należą w pewnym stopniu z przedziału [0, 1], gdzie 0 oznacza pełną nieprzynależność a 1 pełną przynależność do zbioru, dopuszczalna jest tu zatem częściowa przynależność elementu do zbioru rozmytego ;
  • zbiór przybliżony – zbiór odzwierciedlający logikę trójwartościową.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. a b Prof. dr hab. Włodzimierz Waliszewski i in., Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, ISBN 83-02-02551-8, s.327, Zbiór
  2. Formalnie niekiedy określanej w klasie wszystkich zbiorów, zob. paradoks zbioru wszystkich zbiorów.
  3. Czasem korzysta się z zapisu odwróconego, odpowiednio: oraz
  4. Innymi są np. kanoniczna teoria mnogości Zermelo, czy mniej standardowa teoria mnogości Kripkego-Platka.
  5. Choć może to prowadzić do pomyłki z działaniem wzięcia zbioru elementów przeciwnych dla zbioru, w którym określono pewną strukturę algebraiczną.
  6. Może to prowadzić do konfliktu z działaniami z innych działów matematyki; istnieją również inne sposoby zapisu tego działania, np. w tej notacji oznacza
  7. W algebrze symbolem tym zapisuje się działanie sumy prostej.