Zbiór Cantora

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zbiór Cantorapodzbiór prostej rzeczywistej opisany w 1883[1] przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Zbiór ten odkrył w 1875 Henry John Stephen Smith[2].

Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.

Topologicznym zbiorem Cantora nazywa się każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z trójkowym zbiorem Cantora (kostką Cantora wagi ).

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Podstawowa konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Klasyczny zbiór Cantora (zwany także trójkowym zbiorem Cantora) to podzbiór przedziału domkniętego liczb rzeczywistych wyznaczony przez następującą konstrukcję. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych takich że

  zbiór jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych.

W kroku bazowym deklarujemy, że

zbiór to odcinek

(oczywiście, zbiór ten spełnia warunek ). Krok indukcyjny konstrukcji jest opisany w sposób następujący.

Przypuśćmy, że wyznaczyliśmy już zbiór tak, że jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych (tzn. spełnia ). Każdy z odcinków tworzących ten zbiór dzielimy na 3 rozłączne odcinki równej długości z których środkowy odcinek jest otwarty, a odcinki skrajne są domknięte. Wyrzucamy ze zbioru wszystkie środkowe odcinki otwarte kładąc (gdzie to „środkowe” odcinki z podziałów wykonanych przed chwilą). Można sprawdzić, że zbiór jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych (czyli warunek jest spełniony).
Zbiory C0, C1, C2, C3, C4, C5 i C6

Po zakończeniu procesu indukcyjnego, gdy ciąg jest wyznaczony, definiujemy trójkowy zbiór Cantora jako część wspólną tego ciągu:

Alternatywna definicja[edytuj | edytuj kod]

Trójkowy zbiór Cantora definiuje się także jako zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mających postać:

gdzie Tak więc jest to zbiór tych liczb rzeczywistych z przedziału dla których istnieje rozwinięcie w układzie trójkowym, w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka albo występuje jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią różną od zera).

Modyfikacje konstrukcji[edytuj | edytuj kod]

Odpowiednik zbioru Cantora w 3 wymiarach pył Cantora (5 stopni rekurencji) o wymiarze fraktalnym

W klasycznej konstrukcji zbioru Cantora (opisanej powyżej) wybiera się zbiory tak że każdy z nich jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych długości Możemy zmodyfikować tę konstrukcję tak, że wybierając zbiory wyrzucamy środkowe części odcinków składających się na ale długość wyrzuconych odcinków może być różna od 1/3 długości odcinków dzielonych.

Jedna z konstrukcji tego typu prowadzi do zbioru Smitha-Volterra-Cantora. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych tak, że każdy zbiór jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych. Proces indukcyjny zaczyna się od określenia

Następnie, przypuśćmy że zbiór jest już wyznaczony i jest on sumą rozłącznych odcinków domkniętych, W centrum każdego z odcinków wybieramy otwarty pododcinek długości Kładziemy

Zbiory D0, D1, D2, D3, D4, D5

Zbiór Smitha-Volterra-Cantora jest zdefiniowany jako

Podstawowe właściwości[edytuj | edytuj kod]

Trójkowy zbiór Cantora

Wymiar fraktalny klasycznego zbioru Cantora wynosi

Nie wszystkie zbiory Cantora mają miarę Lebesgue’a zero – poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora, którego miara jest dowolną liczbą z przedziału Na przykład opisany wcześniej zbiór Smitha-Volterra-Cantora ma miarę 1/2 (i jest nigdziegęsty).

Konsekwencją istnienia nieprzeliczalnych zbiorów miary zero oraz tego, że miara Lebesgue’a jest zupełna jest fakt, iż σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a jest mocy

Zbiór Cantora w szerszym sensie[edytuj | edytuj kod]

Topologicznie zbiór Cantora to każda przestrzeń zwarta, metryzowalna, której składowe spójności składają się z jednego punktu i której każdy punkt jest punktem skupienia. Ważne jest twierdzenie, które mówi, że przestrzeń jest zwarta i metryzowalna wtedy i tylko wtedy, kiedy jest ciągłym obrazem zbioru Cantora.

Topologiczna charakteryzacja zbioru Cantora[edytuj | edytuj kod]

Brouwer udowodnił, że zbiór Cantora jest jedyną z dokładnością do homeomorfizmu przestrzenią topologiczną, która jest doskonała, niepusta, zwarta, metryzowalna i zerowymiarowa.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Cantor, Georg: De la puissance des ensembles parfait de points, „Acta Mathematica” 4 (1884), s. 381–392.
  2. Za: Stewart, Ian: Does God Play Dice?: The Mathematics of Chaos, Blackwell Publishers, Cambridge MA, 1995. ​ISBN 1-55786-106-4​, s. 121.