Zbiór Cantora

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór Cantorapodzbiór prostej rzeczywistej opisany w 1883[1] przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha[2].

Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.

Topologicznym zbiorem Cantora nazywa się każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z trójkowym zbiorem Cantora (kostką Cantora wagi ).

Definicje[edytuj]

Podstawowa konstrukcja[edytuj]

Klasyczny zbiór Cantora (zwany także trójkowym zbiorem Cantora) to podzbiór przedziału domkniętego liczb rzeczywistych wyznaczony przez następującą konstrukcję. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych , takich że

  zbiór jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych.

W kroku bazowym deklarujemy, że

zbiór to odcinek

(oczywiście, zbiór ten spełnia warunek ). Krok indukcyjny konstrukcji jest opisany w sposób następujący.

Przypuśćmy, że wyznaczyliśmy już zbiór tak, że jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych (tzn. spełnia ). Każdy z odcinków tworzących ten zbiór dzielimy na 3 rozłączne odcinki równej długości z których środkowy odcinek jest otwarty, a odcinki skrajne są domknięte. Wyrzucamy ze zbioru wszystkie środkowe odcinki otwarte kładąc (gdzie to "środkowe" odcinki z podziałów wykonanych przed chwilą). Można sprawdzić, że zbiór jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych (czyli warunek jest spełniony).
Zbiory C0, C1, C2, C3, C4, C5 i C6

Po zakończeniu procesu indukcyjnego, gdy ciąg jest wyznaczony, definiujemy trójkowy zbiór Cantora jako część wspólną tego ciągu:

.

Alternatywna definicja[edytuj]

Trójkowy zbiór Cantora definiuje się także jako zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mających postać:

gdzie . Tak więc jest to zbiór tych liczb rzeczywistych z przedziału , dla których istnieje rozwinięcie w układzie trójkowym, w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka albo występuje jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią różną od zera).

Modyfikacje konstrukcji[edytuj]

Odpowiednik zbioru Cantora w 3 wymiarach - pył Cantora (5 stopni rekurencji) o wymiarze fraktalnym

W klasycznej konstrukcji zbioru Cantora (opisanej powyżej) wybiera się zbiory , tak że każdy z nich jest sumą  rozłącznych odcinków domkniętych długości . Możemy zmodyfikować tę konstrukcję tak, że wybierając zbiory wyrzucamy środkowe części odcinków składających się na ale długość wyrzuconych odcinków może być różna od 1/3 długości odcinków dzielonych.

Jedna z konstrukcji tego typu prowadzi do zbioru Smitha-Volterra-Cantora. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych tak, że każdy zbiór jest sumą rozłącznych odcinków domkniętych. Proces indukcyjny zaczyna się od określenia

.

Następnie, przypuśćmy że zbiór jest już wyznaczony i jest on sumą rozłącznych odcinków domkniętych, . W centrum każdego z odcinków wybieramy otwarty pododcinek długości . Kładziemy .

Zbiory D0, D1, D2, D3, D4, D5

Zbiór Smitha-Volterra-Cantora jest zdefiniowany jako

.

Podstawowe właściwości[edytuj]

Trójkowy zbiór Cantora :

Wymiar fraktalny klasycznego zbioru Cantora wynosi

Nie wszystkie zbiory Cantora mają miarę Lebesgue'a zero - poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora dowolnej skończonej miary. Na przykład, opisany wcześniej zbiór Smitha-Volterra-Cantora ma miarę 1/2 (ale jest nigdziegęsty).

Konsekwencją istnienia nieprzeliczalnych zbiorów miary zero oraz tego, że miara Lebesgue'a jest zupełna jest fakt, iż σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a jest mocy .

Zbiór Cantora w szerszym sensie[edytuj]

Topologicznie zbiór Cantora to każda przestrzeń zwarta, metryzowalna, której składowe spójności składają się z jednego punktu i której każdy punkt jest punktem skupienia. Ważne jest twierdzenie, które mówi, że przestrzeń jest zwarta i metryzowalna wtedy i tylko wtedy, kiedy jest ciągłym obrazem zbioru Cantora.

Topologiczna charakteryzacja zbioru Cantora[edytuj]

Brouwer udowodnił, że zbiór Cantora jest jedyną z dokładnością do homeomorfizmu przestrzenią topologiczną, która jest doskonała, niepusta, zwarta, metryzowalna i zerowymiarowa.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Cantor, Georg: De la puissance des ensembles parfait de points, "Acta Mathematica" 4 (1884), strony 381-392.
  2. Za: Stewart, Ian: Does God Play Dice?: The Mathematics of Chaos, Blackwell Publishers, Cambridge MA, 1995. ISBN 1-55786-106-4. Strona 121