Zbiór doskonały

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór doskonałyzbiór domknięty i wszędzie gęsty, to znaczy taki, którego każdy punkt jest jego punktem skupienia.

Przykładem zbioru doskonałego jest dowolny przedział domknięty zbioru liczb rzeczywistych. Innym, nietrywialnym już przykładem jest zbiór Cantora.

Jeżeli oznacza pochodną zbioru , to w przestrzeni T1 zbiór jest doskonały wtedy i tylko wtedy, gdy jest identyczny ze swoją pochodną: .

Okazuje się, że każda przestrzeń T1 jest rozłączną sumą dwóch zbiorów, z których jeden jest doskonały, a drugi nie zawiera żadnego niepustego podzbioru w sobie gęstego.

Zbiory doskonałe w przestrzeniach polskich[edytuj]

Przestrzeń topologiczną nazywamy przestrzenią polską jeśli jest metryzowalna w sposób zupełny i ośrodkowa.

Jeśli jest doskonałą przestrzenią polską, to zawiera kopię homeomorficzną zbioru Cantora. W szczególności oznacza to, że jest mocy .

Twierdzenie Cantora-Bendixsona. Niech będzie przestrzenią polską. Wówczas można przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci , gdzie jest zbiorem doskonałym a zbiorem przeliczalnym otwartym. W szczególności każda nieprzeliczalna przestrzeń polska jest mocy [1].

Przypisy

  1. Alexander S Kechris: Classical descriptive set theory. New York: Springer-Verlag, 1995, seria: Graduate Texts in Mathematics, 156. ISBN 0-387-94374-9.