Zbiór ekstremalnie niemierzalny

Zbiór ekstremalnie niemierzalny – patologiczny w sensie miary podzbiór przestrzeni euklidesowej (dowolnego wymiaru). Definiuje się go jako taki zbiór, który sam ani jego dopełnienie nie zawiera podzbioru mierzalnego o dodatniej mierze Lebesgue’a; równoważnie: miara wewnętrzna Lebesgue’a tego zbioru i jego dopełnienia jest równa zeru.

Niemierzalność

Zbiór ekstremalnie niemierzalny jest niemierzalny. Istotnie, założenie, że $A$ jest mierzalny, pociągałoby mierzalność $A^{\mathrm {c} };$ z definicji zarówno $A,$ jak i $A^{\mathrm {c} }$ byłyby wtedy zbiorami miary Lebesgue’a zero, co oznaczałoby, że cała przestrzeń euklidesowa byłaby zbiorem miary Lebesgue’a zero.

Przykłady

• Niech $w$ będzie liczbą niewymierną, zaś $C=\{k+lw\colon k,l\in \mathbb {Z} \}$ oraz $D=\{k+2lw\colon k,l\in \mathbb {Z} \}.$ Relacja $\sim$ zdefiniowana wzorem $x\sim y\iff x-y\in C$ jest relacją równoważności na prostej. Niech $V$ będzie zbiorem zawierającym po jednym elemencie z każdej klasy abstrakcji relacji $\sim .$ Wówczas zbiór $V+D$ jest ekstremalnie niemierzalnym podzbiorem prostej.
• Niech $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ będzie nieciągłą funkcją addytywną. Zbiór $f^{-1}\left([a,b]\right)$ dla dowolnych $a<b$ jest wtedy ekstremalnie niemierzalnym podzbiorem przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}.$

Bibliografia

• Marek Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities: Cauchy’s Equation and Jensen’s Inequality, second edition. Basel: Bikrhauser, 2009. ISBN 978-3-7643-8748-8.brak strony w książce