Zbiór miary zero

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór miary zero – zbiór mierzalny rozważanej przestrzeni mierzalnej „nieistotny” z punktu widzenia zadanej na niej miary tzn. dowolny zbiór spełniający Podzbiory zbiorów miary zero nazywa się zaniedbywalnymi (w szczególności każdy zbiór miary zero jest zaniedbywalny); jeśli miara jest zupełna (tj. zbiory zaniedbywalne są mierzalne), to z jej monotoniczności wynika też, że każdy zbiór zaniedbywalny jest miary zero, co oznacza, że wtedy pojęcia te są równoważne.

O własności przysługującej elementom pewnego zbioru miary zero mówi się, iż zachodzi prawie nigdzie, z kolei gdy dana własność zachodzi dla wszystkich elementów przestrzeni poza zbiorem zerowej miary, to zachodzi ona prawie wszędzie. W teorii prawdopodobieństwa zamiast wyrażeń „prawie nigdzie”, „prawie wszędzie” używa się wyrażeń „prawie nigdy”, „prawie na pewno/zawsze” (np. o możliwości zajścia zdarzenia losowego); ponieważ miara całej przestrzeni probabilistycznej jest równa jedności, to „prawie na pewno” oznacza „z prawdopodobieństwem 1”.

W przestrzeniach euklidesowych zbiory mierzy się zwykle za pomocą miary Lebesgue'a: w tym przypadku zbiory miary zero można scharakteryzować nie odwołując się do pojęć teorii miary; w lokalnie zwartych grupach topologicznych (którymi są m.in. przestrzenie euklidesowe) standardową miarą jest z kolei pewna (lewostronnie niezmiennicza) miara Haara (której przykładem jest miara Lebesgue'a).

Miara Lebesgue'a[edytuj]

 Zobacz też: miara Lebesgue'a.

Podzbiory miary Lebesgue'a zero przestrzeni euklidesowych można scharakteryzować nie odwołując się bezpośrednio do pojęcia miary: podzbiór prostej nazywa się zaniedbywalnym lub miary Lebesgue'a zero (na mocy zupełności tej miary; często krótko: „miary zero”), jeżeli można wybrać ciąg przedziałów otwartych dowolnie małej długości pokrywających ten zbiór, tzn. dla dowolnego istnieje taki ciąg przedziałów który spełnia

oraz

gdzie oznacza przedział otwarty dla o długości Definicja ta uogólnia się wprost na przestrzenie wtedy przedziały jednowymiarowe należy zastąpić przedziałami wielowymiarowymi, tj. zbiorami postaci w których czynniki kartezjańskie są przedziałami otwartymi, a ich objętość dana jest wzorem Wynika stąd w szczególności, że podzbiory, które można zanurzyć w są miary zero (-wymiarowej Lebesgue'a).

Przykłady[edytuj]

Niech dana będzie funkcja mierzalna (w sensie Lebesgue'a). Mówi się, że jest ona ciągła prawie wszędzie (ciągła p.w.) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości jest miary zero (Lebesgue'a). Jeżeli jest mierzalna (w sensie Lebesgue'a), to funkcje oraz równe prawie wszędzie, tj. wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

jest miary (Lebesgue'a) zero; podobnie jeśli dany jest ciąg funkcji mierzalnych to nazywa się go zbieżnym prawie wszędzie do tzn. wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

ma miarę (Lebesgue'a) zero; dla funkcji o wartościach w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych, jeśli zbiór

jest zaniedbywalny, to o funkcji mówi się, że jest prawie wszędzie skończona. Można również spotkać się z następującym skróconym zapisem (szczególnie w rachunku prawdopodobieństwa, gdzie miara jest prawdopodobieństwem): oraz oznaczającym odpowiednio równość oraz zbieżność do oraz skończoność na zbiorach miary (Lebesgue'a) zero; w każdym z powyższych przypadków miarę Lebesgue'a można zastąpić dowolną miarą określoną na ustalonym σ-ciele abstrakcyjnej przestrzeni mierzalnej.

Niech będzie rodziną wszystkich podzbiorów liczb rzeczywistych, które są miary Lebesgue'a zero: tworzy ona σ-ideał wśród podzbiorów liczb rzeczywistych. Należą do niego m.in. wszystkie zbiory jednopunktowe, a stąd również wszystkie zbiory przeliczalne, czy klasyczny zbiór Cantora (poprzez drobne zmiany konstrukcji można uzyskać zbiór Cantora o dowolnej mierze skończonej), ponadto każdy ze zbiorów należących do zawiera się w zbiorze typu Gδ należącym do Dowolna rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów które nie są miary zero (w sensie Lebesgue'a), jest co najwyżej przeliczalna.

Zbiór liczb rzeczywistych można przedstawić w postaci sumy dwóch rozłącznych zbiorów) oraz z których pierwszy jest zbiorem mizernym (zbiorem pierwszej kategorii), a drugi jest miary Lebesgue'a zero. Otóż jeżeli oznacza zbiór liczb wymiernych, zaś jest przedziałem otwartym o środku w i długości to jako zbiór miary zero można przyjąć

jego dopełnienie jest zbiorem mizernym. Innym przykładem powyższego rozkładu jest zbiór wszystkich liczb Liouville'a, który ma miarę zero oraz jego dopełnienie będące zbiorem pierwszej kategorii.

Niech konsekwencją zasady Cavalieriego jest fakt mówiący, że jeżeli jest podzbiorem miary zero w to

dla prawie wszystkich i podobnie

dla prawie wszystkich gdzie oznacza -wymiarową miarę Lebesgue'a, a oraz Uogólnieniem tej obserwacji jest następujący wniosek płynący z twierdzenia Fubiniego: jeżeli oraz są dwiema przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi, przy czym jest miarą produktową określoną na przestrzeni produktowej to dla dowolnego zbioru mierzalnego na tej przestrzeni następujące warunki są równoważne:

  • zbiór jest miary zero;
  • zbiór jest miary zero;
  • zbiór jest miary zero;

gdzie oraz

Bibliografia[edytuj]

  • Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 144-145.
  • John C. Oxtoby: Measure and Category: A Survey of the Analogies Between Topological and Measure Spaces. New York - Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag, 1980, s. 2-5.
  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004. ISBN 83-89716-02-x.

Zobacz też[edytuj]