Zbiór otwarto-domknięty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przykłady zbiorów otwarto-domkniętych: (1) każdy z trzech dużych grafów, (2) suma dowolnych dwóch grafów oraz (3) suma wszystkich trzech grafów.

Zbiór otwarto-domknięty – podzbiór przestrzeni topologicznej, który jest jednocześnie zbiorem otwartym i domkniętym.

Przykłady[edytuj]

  • W każdej przestrzeni topologicznej X, zbiór pusty oraz cała przestrzeń X są zbiorami otwarto-domkniętymi.
  • Niech przestrzeń X = [0,1] ∪ [2,3] będzie wyposażona w topologię podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, przestrzeń X ma następujące podzbiory otwarto-domknięte: zbiór pusty, X, [0,1], [2,3].
  • Rozważmy przestrzeń topologiczną zbioru liczb wymiernych z topologią podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, zbiór jest otwarto-domkniętym podzbiorem . Ogólniej, jeśli jest przedziałem liczb rzeczywistych o różnych końcach niewymiernych, to jest otwarto-domkniętym podzbiorem (mimo, iż zbiór ten nie jest ani otwarty ani domknięty na prostej ).
  • Jeśli jest przedziałem o różnych końcach wymiernych, to jest otwarto-domkniętym podzbiorem przestrzeni liczb niewymiernych (ale ten zbiór nie jest ani otwarty ani domknięty w ).

Własności[edytuj]

  • Przestrzeń topologiczna X jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi zbiorami otwarto-domkniętymi w X są zbiór pusty oraz cała przestrzeń X.
  • Zbiór jest otwarto-domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jego brzeg jest zbiorem pustym.
  • Przestrzeń topologiczna jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej podzbiory są otwarto-domknięte.
  • Rodzina Clop(X) wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni tworzy ciało podzbiorów tej przestrzeni. W szczególności, struktura jest algebrą Boole’a.
  • Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej.

Bibliografia[edytuj]

Zobacz też[edytuj]