Zbiór otwarto-domknięty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przykłady zbiorów otwarto-domkniętych: (1) każdy z trzech dużych grafów, (2) suma dowolnych dwóch grafów oraz (3) suma wszystkich trzech grafów.

Zbiór otwarto-domknięty – podzbiór przestrzeni topologicznej, który jest jednocześnie zbiorem otwartym i domkniętym.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • W każdej przestrzeni topologicznej zbiór pusty oraz cała przestrzeń są zbiorami otwarto-domkniętymi.
  • Niech przestrzeń będzie wyposażona w topologię podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, przestrzeń ma następujące podzbiory otwarto-domknięte: zbiór pusty,
  • Rozważmy przestrzeń topologiczną zbioru liczb wymiernych z topologią podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, zbiór jest otwarto-domkniętym podzbiorem Ogólniej, jeśli jest przedziałem liczb rzeczywistych o różnych końcach niewymiernych, to jest otwarto-domkniętym podzbiorem (mimo iż zbiór ten nie jest ani otwarty ani domknięty na prostej ).
  • Jeśli jest przedziałem o różnych końcach wymiernych, to jest otwarto-domkniętym podzbiorem przestrzeni liczb niewymiernych (ale ten zbiór nie jest ani otwarty ani domknięty w ).

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Przestrzeń topologiczna jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi zbiorami otwarto-domkniętymi w są zbiór pusty oraz cała przestrzeń
  • Zbiór jest otwarto-domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jego brzeg jest zbiorem pustym.
  • Przestrzeń topologiczna jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej podzbiory są otwarto-domknięte.
  • Rodzina wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni tworzy ciało podzbiorów tej przestrzeni. W szczególności, struktura jest algebrą Boole’a.
  • Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  • Eric W. Weisstein, Clopen, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-10-09].