Zbiór pierwszej kategorii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbiór pierwszej kategorii (czasami zbiór mizerny) – zbiór, który można przedstawić w postaci przeliczalnej sumy zbiorów nigdziegęstych.

Definicja formalna[edytuj]

Niech będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy że zbiór jest pierwszej kategorii Baire'a w (lub I kategorii) jeśli można go przedstawić jako sumę , gdzie każdy ze zbiorów jest nigdziegęsty w (tzn ). Rodzinę wszystkich zbiorów pierwszej kategorii w będziemy oznaczać przez (albo po prostu przez jeśli jest jasne o jakiej przestrzeni topologicznej mówimy).

Zbiory które nie są pierwszej kategorii nazywane są zbiorami drugiej kategorii Baire'a (lub II kategorii).

Własności[edytuj]

  • Zbiory pierwszej kategorii w przestrzeni tworzą σ-ideał podzbiorów . Każdy zbiór z jest zawarty w pewnym zbiorze typu Fσ który też jest pierwszej kategorii.
  • Otwarte niepuste podzbiory przestrzeni zupełnej nie są pierwszej kategorii w tej przestrzeni.
  • Doskonałe przestrzenie polskie wyglądają tak samo jeśli patrzymy na ich podzbiory borelowskie i zbiory pierwszej kategorii: jeśli są doskonałymi przestrzeniami polskimi to istnieje izomorfizm borelowski który zachowuje zbiory pierwszej kategorii (tzn wtedy i tylko wtedy, gdy ).
  • Każda rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej które nie są pierwszej kategorii jest co najwyżej przeliczalna.

Przykłady i zastosowanie[edytuj]

  • Każdy przeliczalny podzbiór prostej rzeczywistej jest I kategorii w . W szczególności zbiór liczb wymiernych jest pierwszej kategorii (choć jest to gęsty podzbiór ).
  • Prostą rzeczywistą można przedstawić jako sumę dwóch zbiorów, , takich że
jest zbiorem pierwszej kategorii, a
jest zbiorem miary zero Lebesgue'a.
Aby podać przykład takich zbiorów ustalmy numerację zbioru liczb wymiernych. (Przypomnijmy, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.) Dla liczb naturalnych niech będzie odcinkiem otwartym o środku w i długości . Wówczas zbiór jest miary zero, ale jego dopełnienie jest pierwszej kategorii.
  • Inny przykład rozkładu jak powyżej jest dany przez liczby Liouville'a: zbiór liczb Liouville'a jest miary zero na prostej, a jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii.
  • Polski matematyk Stefan Banach przedstawił w 1931 następujące spektakularne zastosowanie zbiorów pierwszej kategorii. Niech będzie przestrzenią wszystkich funkcji ciągłych z odcinka w zbiór liczb rzeczywistych . Wyposażmy w topologię zbieżności jednostajnej zadanej przez metrykę
Wówczas jest przestrzenią polską. Rozważmy zbiór
nie ma pochodnej w żadnym punkcie odcinka
Banach udowodnił, że zbiór jest pierwszej kategorii w , czyli że z topologicznego punktu widzenia prawie każda funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.

Gra Banacha-Mazura[edytuj]

Ze zbiorami pierwszej kategorii związana jest (najprawdopodobniej) pierwsza z pozycyjnych gier nieskończonych rozważanych w matematyce. Gra ta była opisana przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w Problemie 43 w Księdze Szkockiej. Odpowiedź na pytanie Mazura była dana przez Stefana Banacha w 1935.

Niech Z będzie dowolnym podzbiorem . Rozważmy następującą grę dwóch graczy, oznaczanych przez A i B. Gracze wykonuja nieskończenie wiele posunięć ponumerowanych liczbami naturalnymi . Zaczynają w ten sposób, że Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty a Gracz B odpowiada przez wskazanie niepustego otwartego przedziału . Kiedy gracze dochodzą do tego kroku w grze, to mają oni skontruowany zstępujący ciąg niepustych przedziałów otwartych . Na tym etapie gry najpierw Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty , a potem Gracz B wskazuje niepusty otwarty przedział .

Kiedy gracze wykonają już wszystkie posunięcia (jest ich nieskończenie wiele!), to decydujemy że Gracz B wygrał partię wtedy i tylko wtedy, gdy .

Okazuje się, że Gracz B ma strategię zwycięską w tej grze wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest pierwszej kategorii.

Zobacz też[edytuj]