Zbiór typu G-delta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Definicja[edytuj]

Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywamy zbiorem typu (czyt. "zbiorem typu gie delta"), gdy jest on przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.

Według nowszej terminologii (zob. Hierarchia zbiorów borelowskich) zbiory typu to inaczej zbiory klasy .

Własności[edytuj]

Jest widoczne wprost z definicji, że przecięcie przeliczalnie wielu zbiorów typu jest też zbiorem tego typu; wykazuje się, że jest nim również suma skończenie wielu takich zbiorów.

Dopełnienie zbioru jest zbiorem Fσ i na odwrót. Każdy zbiór otwarty jest typu , a w przestrzeniach metryzowalnych również zbiory domknięte są tego typu.

Przykłady[edytuj]

  • Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem typu , można go bowiem zapisać jako przekrój
.
  • Zbiór liczb wymiernych nie jest zbiorem typu (ten nietrywialny fakt jest konsekwencją twierdzenia Baire'a).
  • Można wykazać, że zbiór punktów ciągłości dowolnej funkcji jest typu .

Z powyższych przykładów wynika w szczególności, że nie może istnieć funkcja o dziedzinie ciągła we wszystkich punktach wymiernych i tylko w nich. (Da się natomiast udowodnić istnienie funkcji określonej na , której zbiorem punktów ciągłości jest zbiór liczb niewymiernych.)

Zobacz też[edytuj]