Zbiór typu G-delta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywamy zbiorem typu G_\delta (czyt. "zbiorem typu gie delta"), gdy jest on przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.

Według nowszej terminologii (zob. Hierarchia zbiorów borelowskich) zbiory typu G_\delta to inaczej zbiory klasy \Pi_2^0.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jest widoczne wprost z definicji, że przecięcie przeliczalnie wielu zbiorów typu G_\delta jest też zbiorem tego typu; wykazuje się, że jest nim również suma skończenie wielu takich zbiorów.

Dopełnienie zbioru G_\delta jest zbiorem Fσ i na odwrót. Każdy zbiór otwarty jest typu G_\delta, a w przestrzeniach metryzowalnych również zbiory domknięte są tego typu.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem typu G_{\delta}, można go bowiem zapisać jako przekrój
\bigcap_{q\in\mathbb{Q}}\mathbb{R}\setminus\{q\}.
  • Zbiór liczb wymiernych nie jest zbiorem typu G_{\delta} (ten nietrywialny fakt jest konsekwencją twierdzenia Baire'a).
  • Można wykazać, że zbiór punktów ciągłości dowolnej funkcji f\colon \mathbb R\to\mathbb R jest typu G_\delta.

Z powyższych przykładów wynika w szczególności, że nie może istnieć funkcja o dziedzinie \mathbb{R} ciągła we wszystkich punktach wymiernych i tylko w nich. (Da się natomiast udowodnić istnienie funkcji określonej na \mathbb{R}, której zbiorem punktów ciągłości jest zbiór liczb niewymiernych.)

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]