Zbiór wszędzie gęsty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Zbiór wszędzie gęsty lub zbiór w sobie gęsty – w przestrzeni topologicznej zbiór, którego każdy punkt jest jego punktem skupienia.

W przestrzeni metrycznej jest to równoważne stwierdzeniu, że każdy punkt jest granicą ciągu punktów tej przestrzeni różnych od niego.

Przykłady:

Jeżeli przez Ad oznaczyć pochodną zbioru A, to zbiór A jest w sobie gęsty wtedy i tylko wtedy, gdy:

A\subset A^d

W przestrzeni T1 domknięcie zbioru wszędzie gęstego jest również zbiorem wszędzie gęstym.

Zbiór domknięty i jednocześnie wszędzie gęsty nazywamy zbiorem doskonałym.

Przykładem zbioru doskonałego jest domknięcie dowolnego zbioru otwartego przestrzeni euklidesowej. Zbiorem doskonałym jest również zbiór Cantora.


Zobacz też[edytuj | edytuj kod]