Zbieżność punktowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbieżność punktowa – własność ciągu funkcyjnego zapewniająca zbieżność ciągu wartości tych funkcji dla każdego argumentu.

Definicja[edytuj]

Niech oraz będą przestrzeniami metrycznymi, zaś dla Wówczas ciąg funkcji jest zbieżny punktowo do funkcji jeżeli dla każdego istnieje granica Mówi się wtedy, że jest granicą punktową ciągu

Formalnie warunek ten można zapisać wzorem

Przykłady[edytuj]

Granica punktowa funkcji ciągłych nie musi być ciągła: ciągłe funkcje (zaznaczone na zielono) są zbieżne punktowo do funkcji nieciągłej (zaznaczonej na czerwono).
  • Każdy ciąg stały jest zbieżny punktowo (do swojego stałego wyrazu).
  • Granica punktowa ciągu funkcji ciągłych nie musi być funkcją ciągłą. Na przykład niech dane będą funkcje dane wzorem dla oraz Ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji opisanej wzorem
  • Granica punktowa ciągu funkcji, które nie są ciągłe w żadnym punkcie może być ciągła, np. niech dana będzie funkcja Dirichleta oraz funkcje dla Wówczas ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji stałej
  • Niech będzie funkcją różniczkowalną, a będzie jej pochodną. Wówczas można znaleźć funkcje ciągłe dla takie, że ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji .
  • Z twierdzenia Weierstrassa wynika, że każda funkcja ciągła jest granicą jednostajną, a więc i granicą punktową ciągu wielomianów.

Własności[edytuj]

  • Jeśli oraz ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji , a ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji oraz , to
    ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji ,
    ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji ,
    jeśli dodatkowo dla wszystkich , to ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji .
  • Jeśli (dla ) są funkcjami ciągłymi zbieżnymi punktowo do funkcji , to jest funkcją mierzalną względem σ-ciała zbiorów borelowskich (zob. dalej).
  • Twierdzenie Baire’a: Jeśli są przestrzeniami metrycznymi, (dla ) są funkcjami ciągłymi, oraz ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji , to zbiór
nie jest ciągła w punkcie
jest pierwszej kategorii.
  • Z twierdzenia Jegorowa wynika, że jeśli są funkcjami mierzalnymi w sensie miary Lebesgue’a i ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji to dla każdego dodatniego można wybrać zbiór taki, że oraz ciąg jest zbieżny jednostajnie do funkcji .

Klasy Baire’a[edytuj]

 Zobacz też: zbiór borelowski.

Zbieżność punktowa ciągu funkcji jest jednym z narzędzi używanych do badań struktury porządnych funkcji pomiędzy przestrzeniami polskimi. Można się umówić, że funkcje ciągłe są bardzo porządne, ich granice punktowe też są porządne (choć mniej), granice punktowe tychżesz granic są troszkę mniej porządne itd. Tak zasugerowany kierunek badań porządnych funkcji z przestrzeni euklidesowej w liczby rzeczywiste był zapoczątkowany przez francuskiego matematyka René-Louisa Baire’a w 1899[1]. Tematyka ta była rozwinięta przez Henri Lebesgue'a w 1905[2]. Polski matematyk, Stefan Banach, uogólnił te rozważania na przypadek przestrzeni polskich w 1931[3].

Poniżej są przestrzeniami polskimi, z kolei jest przestrzenią Baire’a.

  • Funkcja jest -mierzalna (dla przeliczalnej liczby porządkowej ) jeśli dla każdego zbioru otwartego mamy, że
  • Zauważmy że funkcje ciągłe to dokładnie funkcje -mierzalne. Można sprawdzić, że jest borelowsko mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest -mierzalna dla pewnego .
  • Można udowodnić, że funkcja jest -mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą punktową funkcji ciągłych.
  • Przez indukcję po liczbach porządkowych określamy kiedy funkcja jest klasy Baire’a :
    jest klasy Baire’a 0, jeśli jest ciągła,
    jest klasy Baire’a 1, jeśli nie jest ciągła, ale jest -mierzalna,
    jest klasy Baire’a , jeśli nie jest ona żadnej klasy ; dla , ale jest granicą punktową pewnego ciągu funkcji , gdzie każda jest klasy Baire’a .
  • Okazuje się, że jeśli jest klasy Baire’a , to jest ona -mierzalna. I na odwrót, jeśli jest -mierzalna, to jest ona klasy Baire’a dla pewnego .

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Baire, R.: Sur les fonctions de variables réelles. „Annali di Mat.” (3) 3 (1899), s. 1-123.
  2. Lebesgue, H.: Sur les fonctions représentables analytiquement. „Journ. de Math.” (6) 1 (1905), s. 139-216.
  3. Banach, S.: Über analytisch darstellbare Operationen in abstrakten Räumen. „Fundamenta Mathematicae” 17 (1931), s. 283-295.

Bibliografia[edytuj]