Zbieżność według miary

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zbieżność ciągu funkcji według (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce ten rodzaj zbieżności nazywany jest zbieżnością według prawdopodobieństwa lub zbieżnością stochastyczną.

Definicja[edytuj]

Teoria miary[edytuj]

Niech będzie przestrzenią z miarą oraz . Mówi się, że ciąg funkcji prawie wszędzie skończonych jest zbieżny według miary do funkcji , gdy:

.

Teoria prawdopodobieństwa[edytuj]

Niech będzie przestrzenią probabilistyczną.

Przypadek jednowymiarowy

Niech będą zmiennymi losowymi. Ciąg zmiennych losowych jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub zbieżny stochastycznie) do zmiennej , jeżeli

Ciąg zmiennych losowych nazywamy stochastycznie zbieżnym do stałej , jeżeli

Przypadek wielowymiarowy

Niech będą wektorami losowymi. Ciąg wektorów losowych jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub zbieżny stochastycznie) do wektora , jeżeli

gdzie oznacza normę euklidesową w

Uwagi[edytuj]

  • Terminy zbieżność według miary, zbieżność stochastyczna i zbieżność według prawdopodobieństwa są w statystyce i rachunku prawdopodobieństwa stosowane zamiennie.
  • Stochastyczna zbieżność ciągu zmiennych losowych do stałej oznacza, że przy gęstość prawdopodobieństwa koncentruje się wokół wartości , tzn. rozkład jednopunktowy jest rozkładem granicznym ciągu
  • Zdanie: „ciąg jest zbieżny według miary do funkcji ”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:

Twierdzenia o zbieżności według miary[edytuj]

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]