Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zdarzenie losowe - to mierzalny podzbiór A zbioru zdarzeń elementarnych \Omega danego doświadczenia losowego (zawierający pojedyncze elementy - zdarzenia elementarne lub dowolną ich liczbę). Zdarzeniem losowym nie będzie podzbiór, który jest niemierzalny, jak np. zbiór Vitalego, zbiór Bernsteina. Wymóg mierzalności jest konieczny, aby było możliwe przypisanie zdarzeniom prawdopodobieństw w sposób spójny. Wymóg mierzalności implikuje, że możliwe zdarzenia muszą tworzyć sigma-ciało na \Omega.

Różne zdarzenia losowe nie są zwykle równie prawdopodobne, ponieważ mogą zawierać różne zbiory wyników, jakie bierze się pod uwagę. Np. dla rzutu 1 kostką mamy \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, gdzie liczby określają możliwe do uzyskania liczby oczek. Zdarzeniami losowymi określonymi na \Omega są np.:  A = \{6\} - zdarzenie, że wypadło sześć oczek, B = \{1,2\} - zdarzenie, że wypadły nie więcej niż dwa oczka, C = \{1,3, 5\} - zdarzenie, że wypadła nieparzysta liczba oczek, itp. Zdarzeniom tym przypisane są prawdopodobieństwa P(A) = \frac{1}{6},P(B) = \frac{2}{6},P(C)  = \frac{3}{6} , proporcjonalne do liczby zdarzeń elementarnych, tworzących poszczególne zdarzenia losowe. Zauważmy, że A, B, C \subset \Omega.

Definicja ogólna[edytuj]

Niech (\Omega,\mathcal{F}, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zdarzeniami losowymi nazywamy dowolne zbiory A, B, ..., X, Y, ... należące do σ-ciała \mathcal{F} utworzonego na przestrzeni zdarzeń elementarnych \Omega. Samo σ-ciało \mathcal{F} nazywa się zbiorem zdarzeń losowych.

Zdarzenia losowe są zbiorami, więc podlegają wszelkim prawom, zasadom i działaniom określonym dla zbiorów.

Powyższa definicja stosuje się zarówno gdy zbiór zdarzeń elementarnych jest zbiorem dyskretnym jak i gdy jest on zbiorem niepoliczalnym (np. zbiór liczb rzeczywistych)

Podstawowe pojęcia[edytuj]

1) Zdarzenie elementarne - to pojedynczy wynik eksperymentu losowego.

Np. a) w rzucie 1 kostką zdarzeniami elementarnymi są możliwe różne liczby oczek, uzyskane w pojedynczym rzucie.

b) w rzucie 2 kostkami możliwymi wynikami będą pary uporządkowane liczb, z których pierwsza określa liczbę oczek uzyskaną na 1-szej kostce, a druga - liczbę oczek uzyskaną na 2-giej kostce.

2) Przestrzeń zdarzeń elementarnych \Omega - to zbiór możliwych wyników eksperymentu losowego.

Np. dla rzutu 1 kostką mamy \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, gdzie liczby określają możliwe do uzyskania liczby oczek.

3) Zdarzenia sprzyjające danemu zdarzeniu - to zdarzenia elementarne należące do danego zdarzenia losowego. Np. dla zdarzenia A = \{1,3, 5\} zdarzeniami sprzyjającymi są zdarzenia elementarne \{1\}, \{3\}, \{5\}.

4) Zdarzenie przeciwne do danego zdarzenia - to zdarzenia będące dopełnieniem danego zdarzenia do zbioru \Omega.

Np. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia, że wypadła nieparzysta liczba oczek B = \{1,3, 5\} jest zdarzenie C , że wypadła parzysta liczba oczek, tj. C = \Omega \setminus B = \{2,4, 6\}

Dowolność wyboru σ-ciała[edytuj]

Niech eksperyment losowy polega na rzucaniu sześcienną kostką do gry.

Wtedy zbiór zdarzeń elementarnych ma postać \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}. Jednak σ-ciało nie są z góry określone. Możemy wybrać różne σ-ciała zdarzeń losowych, np.

  • \mathcal{F}_2=\left\{\emptyset,\Omega,\{1\},\{2,3,4,5,6\}\right\} - to σ-ciało zawiera oprócz zdarzenia niemożliwego i pewnego także zdarzenia \{1\} oraz \{2,3,4,5,6\}.
  • \mathcal{F}_3=2^\Omega - to σ-ciało tworzy rodzina wszystkich podzbiorów \Omega, tzn. dowolny podzbiór zbioru \Omega należy do σ-ciała (jest to tzw. zbiór potęgowy).

Wszystkie te wybory są dopuszczalne i jednakowo uprawnione. Wybór podyktowany jest postawionym problemem, na który chcemy odpowiedzieć.

Zobacz też[edytuj]

Typy zdarzeń losowych:

Paradoksy teorii prawdopodobieństwa:

Bibliografia[edytuj]

  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. T. 1. Rachunek prawdopodobieństwa. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999, s. 7. ISBN 83-01-05928-1.
  • W. Szlenk, Rachunek prawdopodobieństwa, Warszawa 1975.