Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zdarzenie losowe - to mierzalny podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego (zawierający pojedyncze elementy - zdarzenia elementarne lub dowolną ich liczbę). Zdarzeniem losowym nie będzie podzbiór, który jest niemierzalny, jak np. zbiór Vitalego, zbiór Bernsteina. Wymóg mierzalności jest konieczny, aby było możliwe przypisanie zdarzeniom prawdopodobieństw w sposób spójny. Wymóg mierzalności implikuje, że możliwe zdarzenia muszą tworzyć sigma-ciało na .

Różne zdarzenia losowe nie są zwykle równie prawdopodobne, ponieważ mogą zawierać różne zbiory wyników, jakie bierze się pod uwagę. Np. dla rzutu 1 kostką mamy , gdzie liczby określają możliwe do uzyskania liczby oczek. Zdarzeniami losowymi określonymi na są np.:  - zdarzenie, że wypadło sześć oczek,  - zdarzenie, że wypadły nie więcej niż dwa oczka,  - zdarzenie, że wypadła nieparzysta liczba oczek, itp. Zdarzeniom tym przypisane są prawdopodobieństwa , proporcjonalne do liczby zdarzeń elementarnych, tworzących poszczególne zdarzenia losowe. Zauważmy, że .

Definicja ogólna[edytuj]

Niech będzie przestrzenią probabilistyczną. Zdarzeniami losowymi nazywamy dowolne zbiory należące do σ-ciała utworzonego na przestrzeni zdarzeń elementarnych . Samo σ-ciało nazywa się zbiorem zdarzeń losowych.

Zdarzenia losowe są zbiorami, więc podlegają wszelkim prawom, zasadom i działaniom określonym dla zbiorów.

Powyższa definicja stosuje się zarówno gdy zbiór zdarzeń elementarnych jest zbiorem dyskretnym jak i gdy jest on zbiorem niepoliczalnym (np. zbiór liczb rzeczywistych)

Podstawowe pojęcia[edytuj]

1) Zdarzenie elementarne - to pojedynczy wynik eksperymentu losowego.

Np. a) w rzucie 1 kostką zdarzeniami elementarnymi są możliwe różne liczby oczek, uzyskane w pojedynczym rzucie.

b) w rzucie 2 kostkami możliwymi wynikami będą pary uporządkowane liczb, z których pierwsza określa liczbę oczek uzyskaną na 1-szej kostce, a druga - liczbę oczek uzyskaną na 2-giej kostce.

2) Przestrzeń zdarzeń elementarnych - to zbiór możliwych wyników eksperymentu losowego.

Np. dla rzutu 1 kostką mamy , gdzie liczby określają możliwe do uzyskania liczby oczek.

3) Zdarzenia sprzyjające danemu zdarzeniu - to zdarzenia elementarne należące do danego zdarzenia losowego. Np. dla zdarzenia zdarzeniami sprzyjającymi są zdarzenia elementarne , , .

4) Zdarzenie przeciwne do danego zdarzenia - to zdarzenia będące dopełnieniem danego zdarzenia do zbioru .

Np. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia, że wypadła nieparzysta liczba oczek jest zdarzenie , że wypadła parzysta liczba oczek, tj.

Dowolność wyboru σ-ciała[edytuj]

Niech eksperyment losowy polega na rzucaniu sześcienną kostką do gry.

Wtedy zbiór zdarzeń elementarnych ma postać . Jednak σ-ciało nie są z góry określone. Możemy wybrać różne σ-ciała zdarzeń losowych, np.

  • - to σ-ciało nazywamy zdegenerowanym, gdyż zawiera tylko zdarzeniem niemożliwe oraz zdarzenie pewne .
  • - to σ-ciało zawiera oprócz zdarzenia niemożliwego i pewnego także zdarzenia oraz .
  • - to σ-ciało tworzy rodzina wszystkich podzbiorów , tzn. dowolny podzbiór zbioru należy do σ-ciała (jest to tzw. zbiór potęgowy).

Wszystkie te wybory są dopuszczalne i jednakowo uprawnione. Wybór podyktowany jest postawionym problemem, na który chcemy odpowiedzieć.

Zobacz też[edytuj]

Typy zdarzeń losowych:

Paradoksy teorii prawdopodobieństwa:

Bibliografia[edytuj]

  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. T. 1. Rachunek prawdopodobieństwa. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999, s. 7. ISBN 83-01-05928-1.
  • W. Szlenk, Rachunek prawdopodobieństwa, Warszawa 1975.