Macierz jednostkowa

Wersory z bazy kanonicznej na płaszczyźnie, reprezentowane przez $I_{2}$ – macierz jednostkową wymiaru 2

Macierz jednostkowa, inaczej identycznościowa, tożsamościowa – macierz kwadratowa, której współczynniki są określone wzorami:

$a_{ij}={\begin{cases}1\quad {\text{dla}}\quad i=j\\[2pt]0\quad {\text{dla}}\quad i\neq j\end{cases}}.$

Skrótowo: $a_{ij}=\delta _{ij},$ gdzie $\delta _{ij}$ to symbol Kroneckera. Obrazowo: na głównej przekątnej macierzy jednostkowej są same jedynki, a reszta jest wypełniona zerami.

Macierz jednostkową zwykle oznacza się symbolem $I.$ Dla podkreślenia stopnia (wymiaru) macierzy pisze się też $I_{n},$ gdzie $n$ jest liczbą naturalną (oznaczającą liczbę wierszy i kolumn). Inne oznaczenia to $E$ i $E_{n}$.

Macierz jednostkowa reprezentuje wersory z bazy standardowej danej skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej, np. przestrzeni euklidesowej: $I_{n}=[{\vec {e}}_{1}\ {\vec {e}}_{2}\dots \ {\vec {e}}_{n}].$ Oprócz tego macierz jednostkowa reprezentuje tożsamościowe odwzorowanie liniowe.

Przykłady

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\;I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\;I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\;\dots ,\;I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\ldots &0\\0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &1\end{bmatrix}}$

Własności

Własności układu wektorów

• Macierz jednostkowa wymiaru $n$ ma rząd równy $n,$ ponieważ parami różne wersory (jej kolumny) są liniowo niezależne. ${\text{rz}}\ I_{n}=n$. To samo dotyczy każdej innej niezerowej macierzy skalarnej i każdej innej macierzy diagonalnej niezawierającej zer na głównej przekątnej.

• Jej wyznacznik jest równy 1. $\det \ I=|I|=1.$ Jeśli wyznacznik jest zdefiniowany geometrycznie (zorientowana miara układu wektorów, np. zorientowane pole równoległoboku lub zorientowana objętość równoległościanu), to wynika to wprost z definicji. Jeśli wyznacznik jest definiowany aksjomatycznie (zwłaszcza nad ciałami innymi niż liczby rzeczywiste), to wartość 1 dla macierzy jednostkowej jest jednym z aksjomatów (jedną z definiujących cech).

• Jest równa swojej macierzy dopełnień algebraicznych i swojej macierzy dołączonej: $I^{D}=I.$

Własności odwzorowania liniowego

Własności ogólne

• Macierz jednostkowa reprezentuje identyczność, dlatego przemnożenie jej przez dowolny wektor (kolumnowy) daje ten sam wektor. $\forall {\vec {v}}\in \mathbb {K} ^{n}:I_{n}{\vec {v}}={\vec {v}}.$

To samo dotyczy wektorów wierszowych (kowektorów). $\forall \varphi \in (\mathbb {K} ^{n})^{*}:\varphi I_{n}=\varphi .$

• Obrazem odwzorowania tożsamościowego jest cała przestrzeń, a jądrem – wektor zerowy. Innymi słowy jądro jest trywialne. ${\text{im}}\ I_{n}=\mathbb {K} ^{n},\ker \ I_{n}=\{{\vec {0}}\}.$

Własności mnożenia

• Macierze można mnożyć nie tylko przez wektory (kolumny) i kowektory (wiersze). Mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań liniowych. Iloczyn (lewo- lub prawostronny) dowolnej macierzy kwadratowej przez macierz jednostkową daje w wyniku tę pierwszą: $IA=AI=A$.

Macierz jednostkowa jest zatem elementem neutralnym pierścienia macierzy określonego stopnia. Równoważnie: reprezentuje jedynkę pierścienia endomorfizmów danej przestrzeni liniowej. Jest też jedynką pełnej grupy liniowej i jej wszystkich podgrup.

Bycie elementem neutralnym mnożenia można też przyjąć za definicję macierzy jednostkowej. Odpowiednie równania jednoznacznie wyznaczają jej elementy.

• W szczególności: macierz jednostkowa jako identyczność komutuje ze wszystkimi elementami odpowiednich pierścieni i grup. $[I,A]=O$ dla pierścieni oraz $[I,A]=I$ dla grup, gdzie $O$ jest kwadratową macierzą zerową.

• Jako element neutralny mnożenia (składania) jest równa swojej macierzy odwrotnej: $I^{-1}=I.$ Innymi słowy jest przykładem inwolucji. Odwracanie jest możliwe, ponieważ spełnione są 3 równoważne warunki: rząd jest maksymalny $(n),$ wyznacznik jest niezerowy, a jądro jest trywialne.

• Jako element neutralny jest mnożenia (składania) równa swojemu kwadratowi i przez to wszystkim swoim potęgom (iteracjom): $I^{2}=I\Rightarrow \forall p\in \mathbb {N} :I^{p}=I.$ Innymi słowy jest idempotentna, czyli jest rzutem. W połączeniu z poprzednim faktem (inwolutywnością): wszystkie iteracje całkowite (nie tylko naturalne) są identyczne. Podany wzór zachodzi dla dowolnego wykładnika $p$ całkowitego $(\forall p\in \mathbb {Z} ).$

• Powyższa własność bardzo upraszcza obliczanie wielomianów od macierzy. $p(I)=Ip(1),$ podobnie jak dla każdego rzutu (idempotentu). To uproszczenie rozciąga się również na nieskończone szeregi potęgowe, np. szereg Taylora. Dzięki nim można definiować różne funkcje na macierzach, m.in. eksponens. Zachodzi $e^{I}=eI$ – wynikiem funkcji jest zwykłe przeskalowanie. Podobnie jest dla innych rzutów oraz dla macierzy skalarnych, ale przy tych ostatnich – z innym czynnikiem skali.

• Macierz kwadratową $A$ wymiaru $n$ można mnożyć nie tylko przez inne macierze kwadratowe tego samego wymiaru. Aby mnożenie $A$ przez inną macierz $M$ było wykonalne, potrzeba i wystarcza, aby jeden z wymiarów macierzy $M$ wynosił $n.$ Innymi słowy: dla każdego $m\in \mathbb {N}$ wykonalne są działania $A_{n}B_{n\times m}$ i $C_{m\times n}A_{n}.$ W szczególności: kiedy ta macierz kwadratowa jest jednostkowa, czyli $A_{n}=I_{n},$ to taki iloczyn zawsze zwraca pozostałą, niekoniecznie kwadratową macierz: $IB=B,CI=C.$

• Macierze kwadratowe można pierwiastkować. Pierwiastek kwadratowy z macierzy jednostkowej $I$ można oznaczyć przez $I^{1/2}$ i zdefiniować równaniem: $(I^{1/2})^{2}=I.$ Dla przypadku 2-wymiarowego to równanie jest spełnione przez macierze postaci:

$I_{2}^{1/2}={\begin{bmatrix}d&{\frac {1-d^{2}}{c}}\\c&-d\end{bmatrix}}$

oraz przez ich transpozycje, dla dowolnych liczb $d,c$.

Własności diagonalizacji

• Wektorem własnym odwzorowania tożsamościowego (i przez to macierzy jednostkowej) jest każdy wektor: $I{\vec {v}}=1\cdot {\vec {v}}.$ Odpowiednią przestrzenią własną jest cała rozważana przestrzeń liniowa. Ta sama własność dotyczy wszystkich innych niezerowych macierzy skalarnych. Dla macierzy jednostkowej jedyną wartością własną jest 1 – ta liczba to całe widmo macierzy (spektrum).

• Macierz jednostkowa jest przez to diagonalizowalna: w sposób dość trywialny, bo jest z definicji diagonalna.

• Wielomian charakterystyczny macierzy jednostkowej jest dość prosty, ponieważ ma tylko jeden pierwiastek (równy 1). Jego krotność jest równa wymiarowi rozważanej przestrzeni i macierzy. $p_{I}(\lambda )=(\lambda -1)^{n}$. Wielomian minimalny to w tym wypadku funkcja liniowa: $\mu _{I}(\lambda )=\lambda -1.$ Analogicznie jest dla każdej niezerowej macierzy skalarnej.

• Ślad macierzy jednostkowej (i odwzorowania tożsamościowego) jest równy wymiarowi przestrzeni oraz macierzy. ${\text{tr}}\ I_{n}=n.$

Własności związane z iloczynami skalarnymi

• Macierz jednostkowa jest macierzą symetryczną, czyli równą swojej transpozycji: $I^{T}=I.$ Odpowiadające jej przekształcenie tożsamościowe $(id)$ jest reprezentowane przez tę samą macierz co jego odwzorowanie dualne: $[id]=[id^{*}].$ Zachodzi tożsamość $\langle Iu,v\rangle =\langle u,Iv\rangle ,$ gdzie $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ to iloczyn skalarny, a $u,v$ to wektory odpowiedniej przestrzeni.

• Jako macierz symetryczna ma same rzeczywiste wartości własne, które wspomniano wyżej (równe 1). Jest macierzą dodatnio określoną – jej wartości własne są dodatnie, a zadana forma kwadratowa jest dodatnio określona. Jest nią zwykły kwadrat modułu wektora. Zadaną formą dwuliniową, symetryczną i dodatnio określoną jest „zwykły” euklidesowy iloczyn skalarny.

• Jako macierz symetryczna (nad ciałem liczb rzeczywistych) jest też automatycznie hermitowska nad ciałem liczb zespolonych, w kontekście półtoraliniowego iloczynu skalarnego. $I^{\dagger }=I.$

• Jako macierz diagonalna spełnia warunki antysymetrii dla wyrazów pozadiagonalnych: $i\neq j\Rightarrow a_{ij}=-a_{ij}=0.$ Mimo to nie jest macierzą antysymetryczną, bo jej wyrazy diagonalne są niezerowe: $\exists i\in \{1,\dots ,n\}:a_{ii}\neq 0.$

• Macierz jednostkowa jest jednocześnie ortogonalna: jej kolumny (oraz wiersze) są parami ortogonalne (prostopadłe), a w dodatku tworzą układ ortonormalny: ${\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{j}=\delta _{ij}.$ Jej macierz odwrotna jest równa transpozycji: $I^{-1}=I^{T}=I.$ Zachowuje rzeczywisty iloczyn skalarny: $\langle Iu,Iv\rangle =\langle u,v\rangle .$

• Jako macierz ortogonalna jest też automatycznie unitarna. $I^{-1}=I^{\dagger }=I.$ Półtoraliniowy zespolony iloczyn skalarny również jest zachowany.

Uogólnienia

Macierz jednostkowa jest szczególnym przypadkiem macierzy skalarnej, a przez to: macierzy diagonalnej:

$I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).$

Przez to jest też szczególnym przypadkiem macierzy trójkątnej i macierzy schodkowej. Niezależnie od tego, jako macierzy diagonalna jest szczególnym przykładem macierzy wstęgowej i ma postać kanoniczną Jordana. Można ją też zaliczać do macierzy operacji elementarnych.

Jedynki i zera w macierzy jednostkowej nie muszą być koniecznie liczbami całkowitymi. To wyróżnione elementy ciała $\mathbb {K} ,$ nad którym zdefiniowano macierz i odpowiednią przestrzeń liniową $\mathbb {K} ^{n},$ do której należą kolumny i wiersze macierzy. Przykładowo 1 i 0 mogą oznaczać funkcje stałe lub reszty z dzielenia (elementy ciał skończonych). Przestrzenie liniowe nad ciałami uogólniają się na moduły nad pierścieniami z jedynką, dlatego elementy macierzy jednostkowej mogą należeć do odpowiedniego pierścienia.

Bibliografia

• Garrett Birkhoff, Saunders Mac Lane: Przegląd algebry współczesnej. A. Ehrenfeucht i A. W. Mostowski (tłum.). Wyd. II poprawione. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1963.

Rozdział VII. Wektory i przestrzenie wektorowe, § 6. Kryteria zależności liniowej,

Rozdział VIII. Algebra macierzy, § 3. Mnożenie macierzy.

• Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry. Jerzy Trzeciak (tłum.). Cz. 1: Podstawy algebry. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2011. ISBN 978-83-01-14252-0.

Rozdział I. Początki algebry, § 3. Układy równań liniowych. Pierwsze kroki,

Rozdział II. Macierze, § 3. Przekształcenia liniowe. Działania na macierzach,

Rozdział III. Wyznaczniki, § 4. Uwagi o konstrukcji teorii wyznaczników.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Identity Matrix, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-11-24]  (ang.).