|
Ten artykuł należy dopracować: |
Przy wykonywaniu obliczeń numerycznych jest rzeczą ważną, aby przestrzegać określonych i prostych reguł wypracowanych na podstawie praktyki obliczeniowej i pozwalających w sposób ekonomiczny wykorzystywać technikę obliczeniową i jej środki pomocnicze.
Wykonujący obliczenia powinien przede wszystkim rozpracować szczegółowo schemat obliczeniowy określający porządek działań, pozwalający uzyskać rezultat w sposób najprostszy i najszybszy. Jest to ważne zwłaszcza przy wykonywaniu wielu obliczeń według tego samego schematu.
Budowanie schematu obliczeniowego można zilustrować na następującym przykładzie.
Dana jest funkcja analityczna
i należy wykonać obliczenia jej wartości dla danych, kolejnych wartości jej argumentu
Jeżeli liczba
jest duża, to obliczanie po kolei wartości
według schematu
nie jest celowe. Należy natomiast funkcję
przedstawić jako złożenie operacji elementarnych w postaci
![{\displaystyle f(x)=f_{m}(\,\dots (f_{2}(f_{1}(x))),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eaef7a332e8c5ae951a85bc9b6d4d636cb92014)
które można wykonywać kolejnymi etapami
![{\displaystyle u_{i}=f_{1}(x_{i}),\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b634c2c1a2c870087f54516559b01e423adc2304)
![{\displaystyle v_{i}=f_{2}(u_{i}),\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a83ea30c4d4e43fca1ea2acf3bcd83f45b6a83e9)
- ...................................................
![{\displaystyle y=f_{m}(w_{i}),\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ba68234a5e938ec097b9df9436687e154baaed)
Dla przykładu rozważmy funkcję
![{\displaystyle y={\frac {e^{x}-\cos x}{1+x^{2}}}+{\sqrt {1+\sin ^{2}x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74475b45a70a6247fbc9c8a13d49f0d4adcdfdf4)
której wartości należy obliczyć dla kolejnych wartości argumentu
Obliczenie najwygodniej jest przeprowadzić tabelarycznie
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) |
![{\displaystyle x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0bf28fd28f45d07e1ceb909ce333c18c558c93) |
![{\displaystyle e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841c0d168e64191c45a45e54c7e447defd17ec6a) |
![{\displaystyle \sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b4b55580d6a821a07ad9fe35be88976917b10b) |
![{\displaystyle \cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184ba70c3a71df25a25c09f34cd7f8175a9b5280) |
![{\displaystyle e^{x}-\cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b261c45d25e9cc783a1a37dca731869f108b67e) |
![{\displaystyle 1+x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee93a0bc45fd86054d8ac256bb58866c0ffb6336) |
![{\displaystyle {\frac {e^{x}-\cos x}{1+x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e8e973b6025fec0fc164cf34246aae89f6a9e39) |
![{\displaystyle \sin ^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0d6ba6bb181219b776ab25be991303f9e07d0e) |
![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) |
|
![{\displaystyle x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308) |
![{\displaystyle x_{1}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93a56f889577b457cbcf119b510a8f1a8ce1c0c3) |
![{\displaystyle e^{x_{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/570841eb383b40aacd3f89d80fcf97e419866377) |
![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) |
|
|
|
|
|
|
|
![{\displaystyle x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7af1b928f06e4c7e3e8ebfd60704656719bd766) |
![{\displaystyle x_{2}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb3efa056e08c8839efb1d55ec67e072ff72e9d7) |
![{\displaystyle e^{x_{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071ded0b2befc704a4632d665a905a4fe85ff966) |
![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) |
|
|
|
|
|
|
|
![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) |
![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wykonując kolejnymi etapami seryjne obliczenia elementów poszczególnych kolumn. Ostatnia kolumna zawiera rozwiązanie postawionego zadania.
Istotnym elementem obliczeń jest stała kontrola nieuchronnie powstających błędów liczbowych.
Liczbą przybliżoną nazywa się liczbę
nieznacznie różniącą się od liczby dokładnej
[1]. Jeżeli wiadomo, że
to
nazywa się przybliżeniem
z niedomiarem. Gdy jest natomiast
to przybliżenie jest z nadmiarem. I tak na przykład liczba
przybliża dokładną wartość
z niedomiarem, a liczba
– z nadmiarem. Gdy
przybliża
to piszemy
Błędem
liczby przybliżonej nazywa się różnicę
(czasem
). Z tej definicji wynika, że
- Definicja 1: Błędem bezwzględnym (absolutnym)
liczby przybliżonej
nazywana jest wartość bezwzględna różnicy liczb
tzn.
![{\displaystyle {}\qquad \Delta =|A-a|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58b92cba06ef0cecc78011e1901198f39c349a6)
Ze wzoru tego wynika, że błąd bezwzględny liczby
można określić tylko wtedy, gdy znana jest liczba dokładna
- Definicja 2: Granicznym błędem bezwzględnym
nazywana jest dowolna liczba nie mniejsza od błędu bezwzględnego, tzn.
![{\displaystyle {}\qquad \Delta _{a}\geqslant |A-a|=\Delta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c47066125d72a5b0ec97b211b42dc2a5a6ef42c)
Wartość dokładna
mieści się w granicach
tzn.
| | ![{\displaystyle A=a\pm \Delta _{a}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6390632d0f71d12ab4334072da65d0c6b6754c) |
|
(1) |
Dla danej liczby
reprezentującej liczbę
określić jej graniczny błąd absolutny.
Ponieważ zachodzą nierówności
![{\displaystyle 3{,}14-\Delta _{a}\leqslant \pi =3{,}14159\leqslant 3{,}14+\Delta _{a},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0780ea44b967419541d4c4e46e02ddb0c6438eb7)
otrzymujemy
- dla
![{\displaystyle \Delta _{a}=0{,}01:\quad 3{,}13<\pi <3{,}15;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191716cb288bf2d6d192a8897734a62a4e0d7bc8)
- dla
![{\displaystyle \Delta _{a}=0{,}001:\quad 3{,}139<\pi <3{,}141;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8451958b53b425b082238e646c60fea65e28a7e9)
- dla
![{\displaystyle \Delta _{a}=0{,}0001:\quad 3{,}1399<\pi \nless 3{,}1401.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b0dff64b0021778d60f00499484f6f5376976f3)
Wynika stąd, że granicznym błędem absolutnym jest
Błąd bezwzględny nie określa w sposób jednoznaczny dokładności obliczeń i pomiarów. I tak na przykład, gdy przy pomiarze długości dwu prętów otrzymano wyniki
oraz
to większą dokładność uzyskano w pierwszym przypadku. Dla oceny dokładności istotny jest błąd bezwzględny popełniony przy pomiarze jednostki długości, czyli tzw. błąd względny.
- Definicja 3: Błędem względnym
danej liczby przybliżonej
nazywa się stosunek błędu bezwzględnego
tej liczby, do modułu liczby dokładnej
tzn.
- Definicja 4: Granicznym błędem względnym
liczby przybliżonej
jest każda liczba nie mniejsza od błędu względnego tej liczby, tzn.
![{\displaystyle {}\qquad \delta _{a}\geqslant \delta ={\frac {\Delta }{|A|}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad73ecde9db8ddafffa438c7a7dfe9eada8b2147)
Stąd
![{\displaystyle \Delta _{a}=|A|\delta _{a}\approx |a|\delta _{a},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d8268219d6af0ca8b5f347e2bb5559ef3bb99b)
zaś na podstawie (1)
tzn.
| | ![{\displaystyle A=(1\pm \delta _{a})a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd253b5180ec83590b14c1116a1a7dc0992fd65f) |
|
(2) |
Ciężar
wody w temperaturze
waży
Należy określić graniczny błąd względny wyniku ważenia.
![{\displaystyle \Delta _{p}=0{,}001\,G,\;p\leqslant 999{,}846\,G.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f2afe1ebc500835c6a4fac20707a432e979b20)
Stąd
![{\displaystyle \delta _{p}={\frac {0{,}001}{999{,}846}}\approx 10^{-4}\%.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38e7cc755bb696ef8f89c15c9407d7c2e26e224e)
Przy określaniu stałej gazowej dla powietrza otrzymano wartość przybliżoną
W jakich granicach zawiera się wartość dokładna jeżeli pomiaru dokonano z błędem
Ponieważ
zatem
i
W pozycyjnym zapisie dziesiętnym liczba
jest zapisywana w postaci skończonego lub nieskończonego rozwinięcia
![{\displaystyle {\begin{aligned}a=\alpha _{m}10^{m}&+\alpha _{m-1}10^{m-1}+\alpha _{m-2}10^{m-2}+\,\dots \\[1ex]&+\alpha _{m-n+1}10^{m-n+1}\,+\dots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7760e819b02eaa9736af4794f9e98f194ffc3f3c)
w którym
są kolejnymi cyframi reprezentowanej liczby, przy czym
oraz
Rozwinięcie skończone reprezentuje albo liczbę dokładną albo przybliżoną.
Wszystkie cyfry rozwinięcia
nazywane są cyframi znaczącymi liczby przybliżonej
Nie są cyframi znaczącymi zera dopisane formalnie na początku
![{\displaystyle a=7\cdot 10^{-3}+0\cdot 10^{-4}+1\cdot 10^{-5}+0\cdot 10^{-6}={\underline {0{,}00}}7010}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce7b99a390ca557b7acfdc35da1b5d4b48d81f33)
lub na końcu
![{\displaystyle {\begin{aligned}a=2\cdot 10^{9}&+0\cdot 10^{8}+0\cdot 10^{7}\\[1ex]&+3\cdot 10^{6}+0\cdot 10^{5}=20030{\underline {00000}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0e757d41b83ad48bf40651278d7db9d42209d3)
dziesiętnego zapisu pozycyjnego liczby
- Definicja 5: Cyfrą znaczącą liczby przybliżonej
nazywana jest każda taka cyfra jej dziesiętnej reprezentacji, która nie jest zerem albo jest takim zerem, które występuje pomiędzy dwiema cyframi znaczącymi lub reprezentuje istotną, zachowaną cyfrę końcową tej liczby.
Na przykład w liczbie
pierwsze trzy zera nie są znaczące, ponieważ zostały formalnie dopisane jedynie dla uzyskania czytelności dziesiętnego zapisu liczby, zaś pozostałe dwa zera są znaczące, gdyż reprezentują rzeczywiste wartości cyfr tej liczby. Z tego powodu
ponieważ pierwsza liczba ma cztery cyfry znaczące podczas gdy druga tylko trzy.
Na podstawie zapisu liczby w postaci
nie można dokładnie określić ilości jej cyfr znaczących. Problem znika, gdy liczbę tę zapiszemy w postaci
(trzy cyfry znaczące) lub
(pięć cyfr znaczących).
- Definicja 6: Dokładną cyfrą znaczącą w dziesiętnym zapisie liczby przybliżonej
nazywa się taką cyfrę znaczącą, która reprezentuje wartość liczbową
obarczoną błędem bezwzględnym nie przekraczającym wartości ![{\displaystyle 0{,}5\cdot 10^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/681d91e2d6832d32797946c8e448ecf025912a77)
Tak więc, gdy jest wiadomo, że
| |
![{\displaystyle \Delta =|A-a|\leqslant 0{,}5\cdot 10^{m-n+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8888ab322b75c3ab7dca0c28addf436e317bf0a)
|
|
(3) |
to pierwsze
cyfr
tej liczby są dokładne.
Na przykład dla liczby dokładnej
liczba przybliżona
ma trzy cyfry dokładne, ponieważ
gdy
- Definicja 7: Ilością cyfr dokładnych liczby przybliżonej
nazywa się taką największą liczbę
dla której jest jeszcze spełniony warunek (3).
Zaokrąglaniem liczby
dokładnej lub przybliżonej, nazywamy zastąpienie tej liczby inną liczbą
o mniejszej ilości cyfr znaczących. Operację tę wykonuje się w taki sposób, aby zminimalizować błąd zaokrąglenia
Zaokrąglenie liczby
do
cyfr znaczących polega na odrzuceniu jej cyfr stojących na prawo od
-tej cyfry. Obowiązują przy tym następujące zasady:
- 1) jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest mniejsza niż 5, to pozostawione cyfry pozostają bez zmiany;
- 2) jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest większa niż 5, to do ostatniej pozostawionej cyfry dodaje się jedność;
- 3) jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest równa 5, a pośród odrzuconych cyfr są cyfry niezerowe, to do ostatniej pozostawionej cyfry dodaje się jedność;
- 4) jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest równa 5 i wszystkie odrzucone cyfry są zerami, to ostatnia pozostawiona cyfra nie ulega zmianie, gdy jest parzysta, i powiększa się o jedność, gdy jest nieparzysta (zasada cyfry parzystej).
Zachowanie tych zasad gwarantuje, że błąd zaokrąglenia nie przekracza połowy wartości miejsca dziesiętnego ostatniej cyfry znaczącej.
Dokładność liczby przybliżonej zależy nie od liczby jej cyfr znaczących, ale od liczby jej dokładnych cyfr znaczących.
Zaokrąglając liczbę
do wartości
popełnia się błędy absolutne nie większe niż
Podobnie zaokrąglając liczbę
do dwu cyfr znaczących (zgodnie z zasadą cyfry parzystej), otrzymuje się liczbę
popełniając błąd absolutny
Błąd względny a ilość cyfr dokładnych[edytuj | edytuj kod]
- Twierdzenie: Jeżeli dodatnia liczba przybliżona
ma
cyfr dokładnych, to błąd względny
tej liczby nie przekracza wartości
dzielonej przez pierwszą cyfrę znaczącą
danej liczby, tzn.
![{\displaystyle \delta ={\frac {1}{\alpha _{m}}}\left({\frac {1}{10}}\right)^{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c789e04dae09965c6d7fffeeaf5a6d1aa861e037)
![{\displaystyle {\begin{aligned}a=\alpha _{m}10^{m}&+\alpha _{m-1}10^{m-1}+\alpha _{m-2}10^{m-2}+\,\dots \\[1ex]&+\alpha _{m-n+1}10^{m-n+1}\,+\dots ,\quad (\alpha _{m}\geqslant 1)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac23ce8bda78e38f8ce6b2a92b9c7ccb3d0419b8)
będzie przybliżeniem liczby dokładnej
mającym
cyfr dokładnych.
Z definicji (3) błędu bezwzględnego
![{\displaystyle \Delta =|A-a|\leqslant {\frac {1}{2}}\cdot 10^{m-n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df959dc94d2239d61d82dc927d3238d6252c7ac)
wynika, że
![{\displaystyle A\geqslant a-{\frac {1}{2}}\cdot 10^{m-n+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fbaa29b26a19322a35b96258c881489377b28ac)
Nierówność ta staje się silniejsza, gdy liczbę
zastąpimy liczbą
tzn.
| |
![{\displaystyle A\geqslant \alpha _{m}\cdot 10^{m}-{\frac {1}{2}}\cdot 10^{m-n+1}={\frac {1}{2}}\cdot 10^{m}\left(2\alpha _{m}-{\frac {1}{10^{n-1}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed85bec8d76213330e55fb9576dcbc9fdc499f19)
|
|
(3) |
Prawa strona nierówności staje się najmniejsza, gdy
![{\displaystyle A\geqslant {\frac {1}{2}}\cdot 10^{m}(2\alpha _{m}-1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daf8f432dce9c50b0695ca31db8afef629a95652)
Ponieważ
zatem
oraz
c.n.d.
- Wniosek 1: Granicznym błędem względnym liczby
jest
| |
![{\displaystyle \delta _{a}={\frac {1}{\alpha _{m}}}\left({\frac {1}{10}}\right)^{n-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f0354af51bda84e69a6a8e0bf10e0af5e82556)
|
|
(4) |
przy czym
jest ilością cyfr dokładnych.
- Wniosek 2: Jeżeli liczba
ma nie mniej niż dwie cyfry dokładne (tzn.
to we wzorze (3) można pominąć liczbę
i wtedy zamiast (4) otrzymuje się
![{\displaystyle \delta _{a}={\frac {1}{2\alpha _{m}}}\left({\frac {1}{10}}\right)^{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905ff120db5da0375d9a445004d26ea8c55c4c66)
Przykład 1: Ocena granicznego błędu względnego liczby
przybliżającej dokładną wartość liczby
W tym przypadku
i mamy
![{\displaystyle \delta _{a}={\frac {1}{2\cdot 3}}\left({\frac {1}{10}}\right)^{3-1}={\frac {1}{600}}={\frac {1}{6}}\%.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/272ec36ba30d6376daa4eecb2c2bc802c4899443)
Przykład 2: Określenie liczby
cyfr w zapisie dokładnej liczby
potrzebnej do uzyskania dokładności
W tym przypadku
![{\displaystyle \delta _{a}={\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{10^{n-1}}}\right)\leqslant 0{,}001\quad \to \quad n\geqslant 4.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4464cb8c9862e049c9b786aaf9a1c851ae03d665)
Przykład 3: Liczba przybliżona
dana jest z błędem względnym
Ile ta liczba ma dokładnych znaków?
![{\displaystyle \Delta =24253\cdot 0{,}01\approx 2{,}43\cdot 10^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0fa7b13c8a0105a1c5de4efa5c23b7e5ccd9615)
Wynika stąd, że liczba
ma tylko dwie cyfry dokładne i powinna być zapisana jako
Twierdzenie 1: Błąd bezwzględny sumy algebraicznej kilku liczb przybliżonych nie przekracza sumy błędów bezwzględnych tych liczb.
Dowód: Niech będą dane liczby przybliżone
i ich suma
![{\displaystyle {}\quad u=\pm x_{1}\pm x_{2}\pm ,\,\dots ,\,\pm x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec045b9ed86affd11bf740fa8ca1d271c151240b)
Błędy bezwzględne wszystkich składników sumują się, tzn.
![{\displaystyle {}\quad \Delta u=\pm \Delta x_{1}\pm \Delta x_{2}\pm ,\,\dots ,\pm \,\Delta x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a41004de50188d4342bf75b4543fa166592676)
i w konsekwencji
c.n.d.
Oznacza to, że jako graniczny błąd bezwzględny sumy algebraicznej można przyjąć sumę granicznych błędów bezwzględnych wszystkich jej składników:
![{\displaystyle \Delta _{u}=\Delta _{x_{1}}+\Delta _{x_{2}}+\,\dots ,\,+\Delta _{x_{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f78fb09fd63bb8007a2601c850186ba083c3431)
Ze wzoru tego wynika, że graniczny błąd bezwzględny sumy nie może być mniejszy od granicznego błędu bezwzględnego tego składnika, który jest najmniej dokładny.
Zasada: Przy sumowaniu liczb o różnej dokładności względnej należy:
- 1) liczby, które mają najkrótszy zapis dziesiętny (tzn. obarczone są największym błędem absolutnym
) pozostawiamy bez zmiany;
- 2) pozostałe liczby zaokrąglamy tak, aby ich błędy absolutne były mniejsze o jeden lub dwa rzędy od błędu
![{\displaystyle \Delta ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c031bda7bf703b5c401eec8b6ad8d448223b883a)
- 3) sumujemy liczby ze wszystkimi zachowanymi znakami;
- 4) otrzymany rezultat zaokrąglamy o jeden znak.
Przy zaokrąglaniu składników sumy do
-tej cyfry dziesiętnej, błąd zaokrąglenia sumy w najniekorzystniejszym przypadku nie przekracza wartości
![{\displaystyle \Delta _{z}\leqslant n\cdot {\frac {1}{2}}\cdot 10^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc26671bb29d833616c0aaeac3515214dea3d99)
Pełny błąd
rezultatu sumowania składa się z trzech składników:
- 1) sumy błędów granicznych wszystkich składników sumy;
- 2) bezwzględnej wartości sumy błędów zaokrąglenia tych składników (z uwzględnieniem ich znaków);
- 3) błędu końcowego zaokrąglenia rezultatu sumowania.
Twierdzenie 2: Jeżeli wszystkie składniki sumy mają ten sam znak, to graniczny błąd względny ich sumy nie przekracza, największego wśród składników, błędu granicznego.
Dowód: Niech będzie
![{\displaystyle u=x_{1}+x_{2}+\,\dots \,+x_{n},\quad x_{i}>0,\quad i=1,\,2,\,\dots ,\,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd7ea632d990645793033a12b370e2e081b09308)
i niech dokładną wartością sumy będzie
![{\displaystyle A=A_{1}+A_{2}+\,\dots ,\,A_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29c57d43857bc3a06821635c523596974c7ef8b)
gdzie
jest dokładną wartością
-tego składnika sumy.
Wówczas graniczną wartością błędu sumy jest
![{\displaystyle \delta _{u}={\frac {\Delta _{u}}{A}}={\frac {\Delta _{x_{1}}+\Delta _{x_{2}}+\,\dots \,\Delta _{x_{n}}}{A_{1}+A_{2}+\,\dots ,\,+A_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba7e666d2b97659759eccf189069b1663f0b7e68)
Ponieważ
![{\displaystyle \delta _{x_{i}}={\frac {\Delta _{x_{i}}}{A_{i}}},\quad i=1,\,2,\,\dots ,\,n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1b6088e911f7429b8e1f15f842e7f10de96f95)
to
![{\displaystyle \Delta _{x_{i}}=A_{i}\delta _{x_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/739a105f5c3020fa1d96689abc6b4cb2c655c41c)
i stąd
![{\displaystyle \delta _{u}={\frac {A_{1}\delta _{x_{1}}+A_{2}\delta _{x_{2}}+\,\dots \,A_{n}\delta _{x_{n}}}{A_{1}+A_{2}+\,\dots ,\,+A_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4a2428335e71bb3148f267bcddb4c7bf9ce026)
Niech
będzie największym z błędów względnych
tzn.
Wtedy
![{\displaystyle \delta _{u}\leqslant {\frac {{\bar {\delta }}(A_{1}+A_{2}+\,\dots ,\,A_{n})}{A_{1}+A_{2}+\,\dots ,\,+A_{n}}}={\bar {\delta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988d40fdadc0a7531ae594b355efa17c9cafabd0)
i ostatecznie
c.n.d.
Niech
będzie różnicą dwu liczb przybliżonych. Ponieważ przy odejmowaniu tych liczb ich graniczne błędy absolutne mogą się sumować, to graniczny błąd absolutny różnicy trzeba obliczać ze wzoru
![{\displaystyle \Delta _{u}=\Delta _{x_{1}}+\Delta _{x_{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b245565262d5300ab9b046c3c160d57a139dd09a)
Graniczny błąd względny różnicy ma więc wartość
![{\displaystyle \delta _{u}={\frac {\Delta _{x_{1}}+\Delta _{x_{2}}}{u}}={\frac {\Delta _{u}}{u}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c593849559f11a7495aa0519388d5b95cecc333)
Drastyczny wzrost błędu obliczonego tym wzorem następuje, gdy liczby
niewiele się różnią i w konsekwencji liczba
ma małą wartość.
Na przykład gdy
i
ich różnica wynosi
i wtedy
![{\displaystyle \Delta _{u}=\Delta _{x_{1}}+\Delta _{x_{2}}=0{,}0005+0{,}0005=0{,}001,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15be22d6650f843497579ea6d21200f94b4bf0d3)
![{\displaystyle \delta _{x_{1}}={\frac {0{,}0005}{47{,}132}}\approx 0{,}00001,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0659eabc0ab2f2922b13118cc3a41885ebc0224)
![{\displaystyle \delta _{x_{2}}={\frac {0{,}0005}{47{,}111}}\approx 0{,}00001,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303f1951c7d010dfd55ec6f3227960cf1e6a8779)
![{\displaystyle \delta _{u}={\frac {0{,}001}{0{,}021}}\approx 0{,}05.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d8dcea310998ccf97161fe12ec1bdece227e7d)
Graniczny błąd względny różnicy jest więc
razy większy od analogicznego błędu każdej z liczb
Tak więc w obliczeniach należy unikać odejmowania liczb niewiele się różniących. Jeżeli nie można tego uniknąć, w liczbach odejmowanych należy zachować odpowiednio większą ilość cyfr dokładnych.
Twierdzenie: Błąd względny iloczynu kilku liczb przybliżonych, różnych od zera, nie przekracza sumy błędów względnych tych liczb.
Dowód: Niech będzie
i
![{\displaystyle \ln u=\ln x_{1}+\ln x_{2}+\,\dots \,+\ln x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c89a271aacc86773aa35ee4e8ef1601718e1088b)
Korzystając ze wzoru przybliżonego
otrzymujemy
![{\displaystyle {\frac {\Delta u}{u}}={\frac {\Delta x_{1}}{x_{1}}}+{\frac {\Delta x_{2}}{x_{2}}}+\,\dots \,+{\frac {\Delta x_{n}}{x_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a884fc7060b05090e64ae654149f084947a96bcd)
Stąd
![{\displaystyle \left|{\frac {\Delta u}{u}}\right|\leqslant \left|{\frac {\Delta x_{1}}{x_{1}}}\right|+\left|{\frac {\Delta x_{2}}{x_{2}}}\right|+\,\dots \,+\left|{\frac {\Delta x_{n}}{x_{n}}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90d4455e97d9d6e4cae7ad1d2c252e4aab8eb8c4)
Jeżeli
są dokładnymi wartościami liczb
i błędy
są małe w porównaniu z wartościami
to możemy przyjąć, że
![{\displaystyle \left|{\frac {\Delta _{x_{i}}}{x_{i}}}\right|\approx \left|{\frac {\Delta _{x_{i}}}{A_{i}}}\right|=\delta _{i}\quad i\quad \left|{\frac {\Delta _{u}}{u}}\right|=\delta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfc847952cfab3173e42e4cf73df4552988c8f39)
gdzie
są błędami względnymi liczb
a
– błędem względnym iloczynu.
Wynika stąd, że
c.n.d.
Wzór ten obowiązuje również i wtedy, gdy mnożone liczby mają różne znaki.
Graniczny błąd względny iloczynu ma wartość
![{\displaystyle \delta _{u}=\delta _{x_{1}}+\delta _{x_{2}}+\,\dots \,+\delta _{x_{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7788cefb83fce78f691c5e88d02dae1dc663c3ce)
W przypadku, gdy wszystkie mnożniki
są dokładne z wyjątkiem jednego, wtedy ze wzoru tego wynika, że graniczny błąd względny iloczynu jest praktycznie równy względnemu błędowi granicznemu mnożnika najmniej dokładnego, tzn.
![{\displaystyle \delta _{u}\approx \max(\delta _{x_{1}},\,\delta _{x_{2}},\,\dots \,\delta _{x_{n}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c171f43db87069d8a031557d5cb22112acca85cd)
Graniczny błąd absolutny
iloczynu wyraża się wzorem
![{\displaystyle \Delta _{u}=|u|\delta _{u}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23273f5b8e7743736ffe455b6333634c87d1c0c6)
Przykład: Określenie liczby cyfr znaczących iloczynu
dokładnych liczb przybliżonych
i
![{\displaystyle \Delta _{x_{1}}=0{,}05,\;\;\Delta _{x_{2}}=0{,}005,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be91a16759849814768d4999a0c731a85446e07c)
![{\displaystyle \delta _{u}=\delta _{x_{1}}+\delta _{x_{2}}={\frac {0{,}05}{12{,}2}}+{\frac {0{,}005}{73{,}56}}=0{,}0042.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02bfff67782cdd56fee3ae49e1b93c89291be9f6)
Ponieważ
to
![{\displaystyle \Delta _{u}=u\delta _{u}=897{,}432\cdot 0{,}0042=3{,}6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead00018f32530b330fc0b2cb850ba03046823b7)
i iloczyn ma tylko dwie cyfry dokładne, w związku z czym wynik mnożenia powinien być zapisany jako
![{\displaystyle u=897\pm 4.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3067fd7e560afadc79d1402f5def8e355dd2aab2)
W przypadku szczególnym, gdy liczba przybliżona
jest mnożona przez liczbę dokładną
![{\displaystyle u=k\cdot x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad9008d266ba09d83cb6b0a4f6ccbd1bb1091419)
graniczny błąd względny nie ulega zmianie, a graniczny błąd absolutny powiększa się
-krotnie, tzn.:
![{\displaystyle \delta _{u}=\delta _{x},\qquad \Delta _{u}=|k|\Delta _{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae72763a1b43783bdafbab412056a523cba72c8)
Przy mnożeniu kilku liczb przybliżonych należy stosować się do następujących reguł:
- 1) zaokrąglać liczby tak, aby każda z nich zachowała o jedną cyfrę znaczącą więcej niż w mnożniku najmniej dokładnym;
- 2) w iloczynie zachować tyle cyfr znaczących ile ich ma mnożnik najmniej dokładny.
Na przykład przy mnożeniu liczb
według tych reguł otrzymuje się
![{\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}=2{,}5\cdot 72{,}4=181\approx 1{,}8\cdot 10^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b4335abd7441df3659228112361866e0a4dfbd5)
Ilość cyfr dokładnych iloczynu[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie dany iloczyn
w którym każdy z mnożników ma przynajmniej
cyfr dokładnych i niech cyfry
będą pierwszymi cyframi znaczącymi w zapisie dziesiętnym mnożników.
![{\displaystyle x_{i}=\alpha _{i}\cdot 10^{p_{i}}+\beta _{i}\cdot 10^{p_{i}-1}+\,\dots \quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f9c1d6e05a41e924098046b81fc02878a3b0c39)
Ponieważ
![{\displaystyle \delta _{x_{i}}={\frac {1}{2\alpha _{i}}}\left({\frac {1}{10}}\right)^{m-1},\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876f5fbb55dd223a1b3e43e596891e77be012656)
zatem
| |
![{\displaystyle \delta _{u}=\sum _{i=1}^{n}\delta _{x_{i}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\alpha _{i}}}\left({\frac {1}{10}}\right)^{m-1}\leqslant {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{10}}\right)^{m-2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67d447f2b34d994571cde3f59da96d9118763c2)
|
|
(a) |
ponieważ
gdy ![{\displaystyle {}\;n\leqslant 10.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/729cd78dcd4b9d8a5d958bcef61d249fccfb63b7)
- Wniosek: Jeżeli wszystkie mnożniki mają
cyfr dokładnych, a ich ilość nie przekracza liczby
to ilość cyfr dokładnych iloczynu maleje o 1 lub 2.
Wynika stąd, że na to aby iloczyn miał
cyfr dokładnych potrzeba, aby mnożniki miały ilość cyfr znaczących większą o 1 lub 2 od m. Jeżeli mnożniki mają różną dokładność, to jako
należy przyjmować liczbę cyfr dokładnych mnożnika najmniej dokładnego.
Tak więc liczba cyfr dokładnych iloczynu niewielkiej liczby mnożników (rzędu dziesięciu) może być o jedną lub dwie jednostki mniejsza od liczby cyfr dokładnych mnożnika najmniej dokładnego.
Przykład 1: Określenie błędu względnego i ilości cyfr znaczących iloczynu
Na podstawie wzoru (a)
![{\displaystyle \delta _{u}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{9}}+{\frac {1}{9}}\right)\left({\frac {1}{10^{3}}}\right)={\frac {1}{9}}\cdot 10^{-3}<{\frac {1}{2}}10^{-3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa031e162661df523b0f0ffbe0763839a2dd46a7)
a liczba cyfr dokładnych jest równa
Przykład 2: Określenie błędu względnego i ilości cyfr znaczących iloczynu
Na podstawie wzoru (a)
![{\displaystyle \delta _{u}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}\right)\left({\frac {1}{10^{3}}}\right)=1\cdot 10^{-3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9940a52b1c8b1ca97dc881f4ba4d64b7548230a)
a liczba cyfr dokładnych jest równa
Jeżeli
to
to
![{\displaystyle {\frac {\Delta u}{u}}={\frac {\Delta x}{x}}-{\frac {\Delta y}{y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74da599658ced1b2203cf59bf21f0242b19bb58f)
Stąd
![{\displaystyle \left|{\frac {\Delta u}{u}}\right|\leqslant \left|{\frac {\Delta x}{x}}\right|+\left|{\frac {\Delta y}{y}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c2bf16429aeb0886702868a38f2b4fa2b09717)
- Twierdzenie: Błąd względny ilorazu nie przekracza sumy błędów względnych dzielnej i dzielnika.
Wynika stąd, że jeżeli
to
- Dowód jak dla iloczynu.
- Przykład: Określenie liczby cyfr dokładnych ilorazu
w przypadku, gdy dzielna i dzielnik są liczbami dokładnymi:
![{\displaystyle \delta _{u}={\frac {0{,}05}{25{,}7}}+{\frac {0{,}05}{3{,}6}}=0{,}002+0{,}014=0{,}016.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6648557a4cc3e04da1a2605468a04a31241d03db)
Ponieważ
to
Stąd
Ilość cyfr dokładnych ilorazu[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli dzielna
i dzielnik
mają po
cyfr dokładnych, to iloraz ma błąd względny
![{\displaystyle \delta _{u}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}\right)\left({\frac {1}{10}}\right)^{m-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82d51e99a483f3301459a7716e7c15b60d368e9c)
gdzie
i
są pierwszymi cyframi dziesiętnymi liczb
i
Ze wzoru tego wynika, że:
- 1) jeżeli
i
to iloraz ma przynajmniej
cyfr dokładnych;
- 2) jeżeli
lub
to iloraz ma tylko
cyfr dokładnych.
Jeżeli
to wtedy
i mamy
![{\displaystyle \left|{\frac {\Delta u}{u}}\right|=m\left|{\frac {\Delta x}{x}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a3041eb42a7c5977dd57c49c0fa1b5f2265fce)
Stąd wynika, że
![{\displaystyle \delta _{u}=m\delta _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33aef1662b50dedc1c7b371516af0a9bc411408d)
tzn. graniczny błąd względny
-tej potęgi liczby
jest
razy większy od granicznego błędu względnego liczby potęgowanej.
Błąd względny pierwiastkowania[edytuj | edytuj kod]
Niech będzie
tzn.
Stąd
![{\displaystyle \delta _{u}={\frac {1}{m}}\delta _{x}\quad {}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25aedb5c0389cfa005d3eb276791334d6a49bbe2)
tzn. graniczny błąd względny pierwiastka
-tego stopnia jest
razy mniejszy od analogicznego błędu liczby pierwiastkowanej.
Błąd funkcji wielu zmiennych[edytuj | edytuj kod]
Podstawowe zadanie teorii błędów polega na tym, aby określić wartość błędu wartości funkcji na podstawie danych wartości błędów jej argumentów.
Niech będzie dana funkcja
![{\displaystyle u=f(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/209039d69c6849f0cad2eb727cf44333cee842f6)
i niech
![{\displaystyle |\Delta x_{i}|,\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4b4bb94469fd4d5b0012d5f9619cd4b78cb807)
będą absolutnymi błędami jej argumentów. Błąd absolutny funkcji wyraża się wzorem
![{\displaystyle |\Delta u|=|f(x_{1}+\Delta x_{1},\,x_{2}+\Delta x_{2},+\cdots \,+x_{n}+\Delta x_{n}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f4a0940f2a9b088df52398db75cd22733d621e3)
W praktyce błędy
są wielkościami małymi i dlatego ich kwadraty i wyższe potęgi można pomijać. Dzięki temu można napisać
| |
![{\displaystyle |\Delta u|\approx |df(x_{1},x_{2},\,\dots ,\,x_{n})|=\left|\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\Delta x_{i}\right|\leqslant \sum _{i=1}^{n}\left|{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right|\left|\Delta x_{i}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d402cca42754d11945dd8ab024cfc6997808fd0b)
|
|
(a) |
Oznaczymy przez
graniczne błędy absolutne argumentów funkcji, a przez
– graniczny błąd absolutny funkcji
i dzięki temu otrzymujemy
![{\displaystyle \Delta _{u}=\sum _{i=1}^{n}\left|{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right||\Delta _{x_{i}}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f23d31513005829284f17431be131bc31b86778)
Ze wzoru (a) wynika ocena błędu względnego funkcji[1]
![{\displaystyle \delta _{u}={\frac {|\Delta _{u}|}{|u|}}\leqslant \sum _{i=1}^{n}{\frac {\left|{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right|}{|u|}}\left|\Delta x_{i}\right|=\sum _{i=1}^{n}\left|{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\ln f(x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{n})\right||\Delta x_{i}|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43308f466a91876f74fe7430fde5364b3506d1ba)
a granicznym błędem względnym jest
![{\displaystyle \delta _{u}=\sum _{i=1}^{n}\left|{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\ln u\right||\Delta x_{i}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd0b11a84389cc36aa8f9f04ba4bb290a5c28e61)
Zadanie to polega na tym, aby określić jakie powinny być błędy absolutne argumentów funkcji, aby jej błąd absolutny nie przekroczył danej wartości.
Zadanie to jest matematycznie nieokreślone, ponieważ dany błąd
funkcji
może być zmieniany na różne sposoby.
Najprostsze rozwiązanie zadania odwrotnego polega na przyjęciu zasady równych wpływów, zgodnie z którą wszystkie różnice cząstkowe
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\Delta x_{i},\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fcbca23edb6732cbcf29b70a0b96d5ac60d8c20)
jednakowo wpływają na powstawanie ogólnego błędu względnego
funkcji
Jeżeli wielkość ogólnego błędu absolutnego
jest dana, to
| |
![{\displaystyle \Delta _{u}=\sum _{i=1}^{n}\left|{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\right|\Delta _{x_{i}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f60cb9dbc10c86ec61901e36dc6fc589a5f3ada8)
|
|
(b) |
Zakładając, że składniki sumy są sobie równe, otrzymujemy
![{\displaystyle \left|{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}\right|\Delta _{x_{1}}=\left|{\frac {\partial u}{\partial x_{2}}}\right|\Delta _{x_{2}}=\cdots =\left|{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\right|\Delta _{x_{n}}={\frac {\Delta _{u}}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a586761f99d1e5d116dfcddb862ecf2f4d27549)
Stąd
![{\displaystyle \Delta _{x_{i}}={\frac {\Delta _{u}}{n\left|{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\right|}},\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa90774103a64acec9d2249214567678a1d5c537)
Dla cylindra o promieniu
i wysokości
określić wartości błędów absolutnych wielkości
i
zapewniających dokładność obliczenia objętości
z błędem
![{\displaystyle V=\pi R^{2}H,\quad \Delta _{V}=0{,}1\,\mathrm {m} ^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71f1b34699eb6b6ca67853b4fd3bf31835d7ce9)
Przyjmując, że
otrzymujemy:
![{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial \pi }}=R^{2}H=12,\;\;{\frac {\partial V}{\partial R}}=2\pi RH=37{,}7,\;\;{\frac {\partial V}{\partial H}}=\pi R^{2}=12{,}6.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1e7fff1761203c3bd57bf7d54b5dee9959abec2)
Stąd
![{\displaystyle \Delta _{\pi }={\frac {0{,}1}{3\cdot 12}}<0{,}003,\;\Delta _{R}={\frac {0{,}1}{3\cdot 37{,}7}}<0{,}003,\;\Delta _{H}<{\frac {0{,}1}{3\cdot 12{,}6}}<0{,}003.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf15c7dc50ef12c8cb07f180d6b097b42b19bb7)
Obliczyć wartość funkcji
z dokładnością do dwu cyfr znaczących po przecinku, gdy dane są przybliżone wartości argumentów
i
![{\displaystyle u=6x^{2}(\lg \,\sin 2y)=6(15{,}2)^{2}(\lg \,15{,}2-\sin \,114^{\circ })=371{,}9,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc59f637ace3336c5276a784847f88327404e0c)
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=12x(\lg \,x-\sin 2y)+6x^{2}{\frac {0{,}43429}{x}}=88{,}54,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7694f73770bc95c4d4ea54b209349e1c1cae56bc)
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-12x^{2}\cos 2y=1127{,}7.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92156d1b05b756bba868c8bb37af9668731aa197)
Dla uzyskania wyniku z dwiema dokładnymi cyframi po przecinku konieczne jest spełnienie warunku
Zgodnie z zasadą równych wpływów jest
![{\displaystyle \Delta _{x}={\frac {\Delta _{u}}{2\left|{\frac {\partial u}{\partial x}}\right|}}={\frac {0{,}005}{2\cdot 88{,}54}}=0{,}000028,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db047b2b996b805e72aeff3727c81e2a4f30dd5a)
![{\displaystyle \Delta _{y}={\frac {\Delta _{u}}{2\left|{\frac {\partial u}{\partial y}}\right|}}={\frac {0{,}005}{2\cdot 1127{,}7}}=0{,}0000022\,\mathrm {rad} =0^{''}\!\!,45.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5ddcecc853252ac4c4d708925752be6bf2384b6)
Z jaką dokładnością należy zmierzyć promień koła
i z iloma cyframi dokładnymi przyjąć liczbę
aby dało się obliczyć powierzchnię tego koła z dokładnością do
i ![{\displaystyle {}\;\ln s=\ln \pi +2\ln R.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/004360acf09d2f78af914baa6035939264ed0ea7)
Zgodnie z zasadą równych wpływów należy przyjąć
![{\displaystyle {\frac {\Delta _{\pi }}{\pi }}=0{,}0005,\quad {\frac {2\Delta _{R}}{R}}=0{,}0005,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a69c53282f7489461a0eb29aae39cc98471390)
| |
![{\displaystyle {\frac {\Delta _{s}}{s}}={\frac {\Delta _{\pi }}{\pi }}+{\frac {2\Delta _{R}}{R}}=0{,}001.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa97944e4a07d1f8b51611cc06931ddda59b6921)
|
|
(c) |
Stąd
![{\displaystyle \Delta _{\pi }=3{,}14\cdot 0{,}0005\leqslant 0{,}0016,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8d2656e17af6b58eb738145f475f59905e87cb9)
![{\displaystyle \Delta _{R}={\frac {R}{2}}\cdot 0{,}0005=0{,}00025R\leqslant 0{,}0076\,\mathrm {cm} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d47e1591af855168b9f5605c7d548ab8e8cdc6)
Należałoby zatem przyjąć, że
(i wtedy
mierzyć zaś wielkość promienia
z dokładnością do tysięcznych części centymetra. Taka dokładność pomiaru nie jest praktycznie osiągalna i dlatego wygodniej jest przyjąć
i obliczyć
ze wzoru (c):
![{\displaystyle {\frac {2\Delta R}{R}}=0{,}001-0{,}00016=0{,}0084\quad \to \quad \Delta R={\frac {R}{2}}\cdot 0{,}0084=0{,}13\,\mathrm {cm} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936c5b07cb782e98f87f06018248351959c5aeb6)
W przypadku, gdy graniczne błędy absolutne wszystkich argumentów
są sobie równe, tzn. gdy
![{\displaystyle \Delta _{x_{1}}=\Delta _{x_{2}}=\cdots =\Delta _{x_{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0e81a96781cf64eb70ddb67d2ccaca9c741343)
ze woru (b) wynika, że
| |
![{\displaystyle \Delta _{x_{i}}={\frac {\Delta _{u}}{\sum _{i=1}^{n}\left|{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\right|}},\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf50efab49095efb5aa480ae2d67c10b4bbf83a8)
|
|
(d) |
Jeżeli natomiast są sobie równe graniczne błędy względne wszystkich argumentów, tzn. gdy
![{\displaystyle \delta _{x_{1}}=\delta _{x_{1}}=\delta _{x_{2}}=\,\dots \,=\delta _{x_{2}},\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb799e2c6f5ac1ecec2e6d43f79635d7d27e013)
to otrzymujemy stąd
![{\displaystyle {\frac {\Delta _{x_{i}}}{|x_{i}|}}={\frac {\Delta _{x_{2}}}{|x_{2}|}}=\,\dots \,={\frac {\Delta _{x_{n}}}{|x_{n}|}}=k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0585ea4df869099e9905026902b4bc9cc3846f1)
Wynika stąd, że
![{\displaystyle \Delta _{x_{i}}=k|x_{i}|,\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba5b6f7780580fa42e719d2450496f86ab3aa14)
i na podstawie wzoru (d)
![{\displaystyle \Delta _{u}=k\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\right|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c41ef4011bcd5dbd55210c3ece41857acbe04b4)
Dokładność danych tablicowych[edytuj | edytuj kod]
W praktyce obliczeniowej często zdarza się, że należy obliczyć wartość argumentu funkcji na podstawie jej wartości danych tabelarycznie. Na przykład trzeba obliczyć wartość kąta odpowiadającego danej wartości jego sinusa. Jest oczywiste, że błąd wartości funkcji przekłada się na wartość błędu jej argumentu.
Niech będzie dana tablica z jednym wejściem dla funkcji
Jeżeli ta funkcja jest różniczkowalna, to dla dostatecznie małych wartości
mamy
![{\displaystyle |\Delta y|=|f^{\,'}(x)|\,|\Delta x|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25ba113f19b0c7f7fe2d1dea7cd442bb6072293e)
i stąd
lub ![{\displaystyle {}\quad \Delta _{x}={\frac {1}{y^{'}}}\Delta _{y}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b7b37e8dcc4bef17e44ada3acfbebf0b43b1885)
1. Logarytmy
Jeżeli
to ![{\displaystyle {}\,y^{'}={\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168d20925429ba11020a2c186da8606ca82a2e3e)
i
Jeżeli
to
i
| |
![{\displaystyle {}\quad \Delta _{x}={\frac {1}{M}}x\Delta _{y}=2{,}30x\Delta _{y}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec47e6f94fc1b0f7a29759bb3b0aac96e1a7b7c) |
|
(a) |
2. Funkcje trygonometryczne
1) Jeżeli
to ![{\displaystyle {}\,y^{'}=\cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/313082cea4c98114286dd43ac4f9b3c05491928d)
i
2) Dla funkcji
mamy
![{\displaystyle y^{'}=\sec ^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5829790f553376b617cbd898d495540a2e059782)
i
3) Gdy
to
| |
i ![{\displaystyle {}\quad \Delta _{x}=2{,}30\operatorname {tg} x\Delta _{y}\;\mathrm {rad} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090abb2b78c74f492d53033e9e67c0974129a2b0)
|
|
(b) |
4) Gdy
to
| |
i ![{\displaystyle {}\quad \Delta _{x}=1{,}15\sin 2x\Delta _{y}\;\mathrm {rad} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca04c7ae8d5af9c9941bf689d3b94b5bb678c454)
|
|
(c) |
2. Funkcja wykładnicza
Jeżeli
to wtedy
i
Przykład:
1) Z jaką dokładnością można określić liczbę
(będącą pierwiastkiem równania
posługując się czterocyfrową tablicą logarytmów dziesiętnych?
Na podstawie wzoru (a) otrzymuje się
![{\displaystyle \Delta _{x}=2{,}30\cdot 5000\cdot {\frac {1}{2}}10^{-4}\approx 0{,}6.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55e22e95715018ff10831f34dd612e62f80ee767)
2) Oszacować błąd w określeniu kąta
- a) na podstawie pięciocyfrowej tablicy logarytmów funkcji
i wzoru (b):
![{\displaystyle {}\quad \Delta _{x}=2{,}30\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot 10^{-5}\,\mathrm {rad} =0{,}00002\,\mathrm {rad} \approx 4^{''};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc9bed552c646944f699f5acac4d47cd83973a4e)
- b) na podstawie pięciocyfrowej tablicy logarytmów tangensów i wzoru (c):
![{\displaystyle {}\quad \Delta _{x}=1{,}15\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot 10^{-5}\,\mathrm {rad} =0{,}000005\,\mathrm {rad} \approx 1^{''}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ded1d988890cb02c48af37454e9b6100f1bc186)