Czworościan
Niektóre z zamieszczonych tu informacji wymagają weryfikacji. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Czworościan – ostrosłup trójkątny, czyli wielościan o czterech trójkątnych ścianach[1]. Każdy czworościan posiada 6 krawędzi i 4 wierzchołki[a]. Czworościan jest trójwymiarowym sympleksem.
Jeśli wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi, czworościan nazywany jest czworościanem foremnym. Trzeba odróżniać czworościan foremny od ostrosłupa trójkątnego foremnego (czyli prawidłowego): dla tego drugiego tylko jedna ściana koniecznie musi być trójkątem równobocznym, pozostałe zaś są trójkątami równoramiennymi (zob. Ostrosłup prawidłowy). Czworościan foremny jest szczególnym przypadkiem ostrosłupa trójkątnego foremnego.
Wzory[edytuj | edytuj kod]
Objętość czworościanu (niekoniecznie foremnego) o wierzchołkach dana jest wzorem:
gdzie zmienna pomocnicza to wyznacznik
to długość krawędzi łączącej wierzchołek z wierzchołkiem
Promień kuli opisanej na czworościanie:
gdzie zmienna pomocnicza to
Promień kuli wpisanej można wyznaczyć za pomocą wzoru:
gdzie to pole ściany niezawierającej wierzchołka
Kąt trójścienny oraz długości wychodzących z niego krawędzi wyznaczają jednoznacznie czworościan. Jeśli i i oraz i są punktami leżącymi parami na prostych zawierających ramiona kąta trójściennego o wierzchołku S, to objętości czworościanów i spełniają zależność[2]:
Dowód tego faktu można przeprowadzić bez zmniejszenia ogólności zakładając, że jedna z par punktów leży na tej samej półprostej (ewentualna symetria środkowa względem S jednego z czworościanów), a nawet że jeden punkt jest wspólny (jednokładność jednego z czworościanów zmienia objętość jak sześcian skali). Wówczas czworościany mają wspólną wysokość i stosunek pól podstaw wynikający ze wzoru:
Uwagi[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Jest to zgodne z twierdzeniem Eulera o wielościanach: χ = W – K + S = 4 – 6 + 4 = 2.
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ czworościan, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-02] .
- ↑ Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 250–251. ISBN 83-86007-63-X.
Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]
- Eric W. Weisstein , Tetrahedron, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).