Relacja rozmyta

Definicja formalna

Niech $U$ i $V$ będą niepoliczalnymi (ciągłymi) obszarami rozważań i $\mu _{R}:U\times V\to [0,1],$ wtedy

$R=\int \limits _{U\times V}{\frac {\mu _{R}(u,v)}{(u,v)}}$

jest relacją rozmytą dwójkową na $U\times V.$ Jeśli $U$ i $V$ są policzalnymi (dyskretnymi) obszarami rozważań, wtedy

$R=\sum _{U\times V}{\frac {\mu _{R}(u,v)}{(u,v)}}.$

Działania na relacjach rozmytych

Niech $R$ i $S$ będą relacjami dwójkowymi zdefiniowanymi na $X\times Y.$

Iloczyn

Iloczyn $R$ i $S$ jest zdefiniowany

$\forall _{(x,y)\in X\times Y}:\mu _{R\cap S}(x,y)=min(\mu _{R}(x,y),\mu _{S}(x,y)).$

Zamiast minimum można użyć dowolnej $T$ -normy.

Suma

Suma $R$ i $S$ jest zdefiniowana

$\forall _{(x,y)\in X\times Y}:\mu _{R\cup S}(x,y)=max(\mu _{R}(x,y),\mu _{S}(x,y)).$

Projekcja

Projekcja $R$ na $S$ jest zdefiniowana

$proj\;R\;na\;V=\int \limits _{V}\sup _{x_{j_{1}},\dots ,x_{j_{t}}}{\frac {\mu _{R}(x_{1},\dots ,x_{n})}{(x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}}.$

W przypadku dwójkowym zapis jest prostszy (niech $R$ będzie zdefiniowane na $X\times Y$)

$proj\;R\;na\;Y=\int \limits _{Y}\sup _{x}{\frac {\mu _{R}(x,y)}{y}}.$

Zamiast supremum, które jest niezbędne, gdy $X$ i $Y$ są ciągłe, na ogół operuje się na obszarach dyskretnych, stosując operację maksimum.

Rozszerzenie cylindryczne

Rozszerzenie cylindryczne $S$ w $U$ to

$ce(S)=\int \limits _{U}{\frac {\mu _{R}(x_{i_{1}},\dots ,x_{i_{k}})}{(x_{1},\dots ,x_{n})}}.$

W przypadku dwójkowym (niech $F$ będzie zbiorem rozmytym definiowanym na $Y$), rozszerzenie cylindryczne $F$ na $X\times Y$ jest zbiorem wszystkich n-tek $(x,y)\in X\times T$ ze stopniem przynależności równym $\mu _{F}\;(y),$ to znaczy

$ce(F)=\int \limits _{X\times Y}{\frac {\mu _{F}(y)}{(x,y)}}.$

Stąd $proj\;ce(S)\;na\;V=S,$ ale ogólnie $ce\;(proj\;R\;na\;V)\neq R.$

Kompozycja

Kombinacja zbiorów rozmytych i relacji rozmytej za pomocą rozszerzenia cylindrycznego i projekcji jest kompozycją i jest oznaczana przez $\circ$

Definicja

Niech $A$ będzie zbiorem rozmytym zdefiniowanym na $X$ i niech $R$ będzie relacją rozmytą zdefiniowaną na $X\times Y.$ Wtedy kompozycję $A$ i $R$ stanowi zbór rozmyty $B$ zdefiniowany na $Y$ i zapisany

$B=A\circ R=proj\;(ce(A)\cap R)\;na\;Y$

lub jeśli iloczyn jest utworzony za pomocą operacji minimum, a projekcja za pomocą operacji maksimum, to

$\mu _{B}(y)=\max _{x}\;\min \;(\mu _{A}(x),\mu _{R}(x,y))$

Nazywamy to kompozycją max-min.

Jeśli iloczyn jest utworzony za pomocą produktu, a projekcja za pomocą maksimum, to otrzymujemy

$\mu _{B}(y)=\max _{x}\;\mu _{A}(x)\cdot \mu _{R}(x,y).$

Nazywamy to kompozycją max-dot lub kompozycją max-produkt.

Zobacz też

• logika rozmyta
• prawdopodobieństwo subiektywne
• relacja
• sztuczna inteligencja